Question

18．一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m₁，B球的质量为m₂．它们沿环形圆管顺时针转动，经过最低点时的速度为v₀．设A球运动到最低点时，B球恰运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么B球在最高点的速度多大？

Answer 1

分析 在最低点和最高点，小球靠重力和管壁的弹力提供向心力，抓住两球作用于圆管的合力为零，即小球对管壁的弹力大小相等，方向相反，结合牛顿第二定律求出B球在最高点的速度．

解答 解：取两球研究，受力如图所示，设两球所受的弹力分别为N₁、N₂，由牛顿第二定律，
对A球，$N-{m}_{1}g={m}_{1}\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
对B球，${N}_{2}+{m}_{2}g={m}_{2}\frac{{v}^{2}}{R}$，
两球作用于圆管的合力为零，则有：N₁=N₂，
联立解得：v=$\sqrt{\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}{{v}_{0}}^{2}+gR（1+\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}）}$．
答：B球在最高点的速度为$\sqrt{\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}{{v}_{0}}^{2}+gR（1+\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}）}$．

点评 解决本题的关键知道小球在最高点和最低点向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，难度不大．