Question

5．如图甲所示，比荷$\frac{q}{m}$=k均带正电荷的粒子（可视为质点），以速度v₀从A点沿AB方向射入长方形磁场区域，长方形的长AB=$\sqrt{3}L$，宽AD=L，取粒子刚进入长方形区域的时刻为0时刻．垂直于长方形平面的磁感应强度如图乙所示变化（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向），粒子仅在洛伦磁力的作用下运动．
（1）若带电粒子在通过A点后的运动过程中不再越过AD边，要使其恰能沿DC方向通过C点，求磁感应强度B，及其磁场的变化周期T₀为多少？
（2）要使带电粒子通过A点后的运动过程中不再越过AD边，求交变磁场磁感应强度B₀和变化周期T₀的乘积B₂T₂应满足什么关系？

Answer 1

分析 （1）若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，粒子运动的时间必定为磁感应强度变化的周期的整数倍，根据运动轨迹，结合几何关系求得半径大小，得出磁感应强度B₀及变化的周期T₀．
（2）画出图象，根据几何知识知转过的圆心角，再根据周期和角度关系列式求解．

解答 解：（1）设粒子运动经过n个T0后沿DC方向射出磁场，则AB方向上 $\sqrt{3}$L=2nrsinθ①，
AD方向上 L=2nr（1-cosθ）②．
由①②式，解得θ=120°，
所以将θ=120°代回①②，
得r=$\frac{L}{n}$（n=0、1、2、3、…）．
又r=$\frac{m{v}_{0}}{Bq}$，
得B=$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$=$\frac{n{v}_{0}}{kL}$（n=0、1、2、3、…）．
T₀=$\frac{2πm}{3Bq}$=$\frac{2πL}{3n{v}_{0}}$（n=0、1、2、3、…）．
（2）如图知在$\frac{{T}_{0}}{2}$转过的圆心角最大为$\frac{5π}{6}$，要使带电粒子通过A点后的运动过程中不再越过AD边，根据角度和周期关系知：$\frac{{T}_{0}}{2}$＜$\frac{5}{12}{T}_{B}$…⑦
在磁场中运动的周期为：T_B=$\frac{2πm}{Bq}$…⑧
由⑦⑧知T₀B₀≤$\frac{5π}{3k}$
答：（1）若带电粒子在通过A点后的运动过程中不再越过AD边，要使其恰能沿DC方向通过C点，磁感应强度为B=$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$=$\frac{n{v}_{0}}{kL}$（n=0、1、2、3、…），及其磁场的变化周期为$\frac{2πL}{3n{v}_{0}}$（n=0、1、2、3、…）．
（2）要使带电粒子通过A点后的运动过程中不再越过AD边，求交变磁场磁感应强度B₀和变化周期T₀的乘积T₀B₀≤$\frac{5π}{3k}$．

点评 带电粒子在复合场中的运动，重点就是运动分析，要着重掌握圆周运动的规律，还有相应的数学知识，做到能准确找出原点，明确运动的轨迹