Question

10．质量M=1000kg的汽车通过圆形拱形桥时的速率恒定，拱形桥的半径R=10m．试求：
（1）汽车在最高点对拱形桥的压力为车重的一半时，汽车的速率；
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，汽车的速率．（重力加速度g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）在拱形桥最高点，根据重力和桥面的支持力的合力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式，求出汽车的速度．
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，靠重力提供向心力，再根据牛顿第二定律和向心力公式，求出汽车的速度．

解答 解：（1）汽车在在最高点时，竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力，由向心力公式得：
Mg-N=M$\frac{{v}^{2}}{R}$
由题意有：N=0.5Mg
联立得：$\frac{1}{2}$Mg=M$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据得：v=$\sqrt{\frac{1}{2}×10×10}$m/s=5$\sqrt{2}$m/s
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，汽车在竖直方向只受重力，由重力提供向心力，由向心力公式得：Mg=M$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
代入数据得：v₀=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×10}$m/s=10m/s
答：（1）汽车在最高点对拱形桥的压力为自身车重一半时，汽车的速率是5$\sqrt{2}$m/s；
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，汽车的速率是10m/s．

点评 解决本题的关键知道汽车过拱桥，在最高点，靠重力和支持力的合力提供向心力，若支持力为0，由重力提供向心力．