Question

如图所示是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”。工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯杆从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯杆在自身重力的作用下落回深坑，夯实坑底；然后两个滚轮再次压紧，夯杆再次被提上来，如此周而复始工作。已知两个滚轮边缘的线速度v恒为4m/s，每个滚轮对夯杆的正压力F_N =2×10⁴ N，滚轮和夯杆间的动摩擦因数μ =" 0.3" ，夯杆的质量m =1×10 ³kg，坑深h ="6.4m" 。假定在打夯的过程中坑的深度变化不大，且夯的低端升到坑口时，速度正好为零。取g =10m/s²。试求：
（1）夯杆上升的过程中，被滚轮释放时它的速度为多大？
此时夯杆低端离坑底多高？
（2）每个打夯周期中，电动机对夯杆所做的功为多少？
（3）每个打夯周期中，由于摩擦产生的热量。
（4）打夯周期T.

Answer 1

（1）5.6 m （2）6.4×10⁴J （3）3.9s  

（1）分析夯杆，由牛顿第二定律 2μF_N –mg =ma        
当夯杆与滚轮速度相同时，v = at                    
此时夯杆上升的高度h₁ =" vt/2" = 4m               
当夯杆以v =" 4m/s" 初速度竖直上抛时，
上升的高度为h₂ = v²/2g =" 0.8m" ，h ₁ + h₂ =" 4.8" m < h    
因此，夯杆先匀加速上升，后匀速上升，最后竖直上抛。
匀速上升的高度为h₃ =" h" - h ₁- h₂  =" 1.6" m               
夯杆上升的过程中，被滚轮释放时它的速度为4m/s
此时夯杆低端离坑底 Δh =" h" – h₂ =" 5.6" m              
(2) 由功能关系，每个打夯周期中，电动机对夯杆所做的功  w =" mgh" =" " 6.4×10⁴J 
(3) 夯杆先匀加速上升的时间 t=" v/a" = 2s            
滚轮的轮缘在相同时间内通过的路程为s   S =" vt" =" 8m    "
相对夯杆的路程为Δs =" s" – h₁ =" 4m" ,             
产生的热量Q = 2μF_N Δs = 4.8×10⁴J                      
（4）夯杆先匀加速上升的时间 t₁ =" 2" s
匀速上升的时间 t₂ = h₃ /v = 0.4s                  
被滚轮释放后到达最高点的时间为 t₃ =" v/g" = 0.4s      
自最高点自由下落到坑底的时间为 t ₄
由h = gt₄² /2   t₄ =" 1.1" s                     
打夯周期T = t₁ + t₂ + t₃+t₄ = 3.9s