Question

倾角30°的光滑斜面上，固定一质量为m=1kg的物块，物块到底端距离S=240米，物块受到一个平行于斜面向上的外力F作用，F的大小随时间周期性变化关系如图所示，t=ls时，由静止释放物块，求：
（1）4-8s内物体的加速度；
（2）物块下滑到斜面底端所用的时间；
（3）物块下滑到斜面底端过程中力F做的总功．

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律求出物体在4-8s内的加速度．
（2）根据牛顿第二定律知向下做匀加速直线运动的加速度和向上的加速度大小相等，物体在1～4s内向下匀加速直线运动，4～7s内向下匀减速至速度为0，7～8s内向上匀加速，8～9s向上匀减速至速度为0，完成一个周期，求出一个周期内的位移，从而确定几个周期到达底端．通过运动学公式求出）物块下滑到斜面底端所用的时间．
（3）求出物块到达底端的速度，根据动能定理求出物块下滑到斜面底端过程中力F做的总功．

解答：解：（1）根据牛顿第二定律得，a2=

F-mgsin30°

m

=5m/s2
方向平行于斜面向上
（2）1～4s内向下匀加速，a1=gsin30°=5m/s2，
s1=

1

2

a1t12=

45

2

m
4～7s内向下匀减速至速度为0，
a2=

F-mgsin30°

m

=5m/s2．
s2=

1

2

a2t22=

45

2

m．
7～8s内向上匀加速，8～9s向上匀减速至速度为0，完成一个周期，
s3=s4=

1

2

a2×12=

5

2

m
一个周期内向下位移
△s=（s₁+s₂）-（s₃+s₄）=40m
S=240m=k△s，得k=6
由过程分析知，5个周期未能达到，第6个周期终点时刻之前，就已经到达．
下面我们计算第6个周期开始到达底端所用的时间t
第6个周期由总位移△s=40m，加速阶段t₃=3s，
位移S₁=

45

2

m，剩下位移，加力后它减速过程即可完成：
△s′=△s-s1=

35

2

m，
v₀=5×3=15m/s，a=-5m/s²．
△s′=v0t4+

1

2

at42
代入数据得，

35

2

=15t4-

5

2

t42
得t4=3-

2

=1.6s．
t_总=5T+t₃+t₄=40+3+1.6s=44.6s
（3）到达底端时速度v=v₀+at₄=15-5×1.6m/s=7m/s
根据动能定理得，WF+mgh=

1

2

mv2-0
解得W_F=-11755J．
答：（1）4-8s内物体的加速度为5m/s²．
（2）物块下滑到斜面底端所用的时间为44.6s．
（3）物块下滑到斜面底端过程中力F做的总功为-11755J．

点评：解决本题的关键理清物体的运动规律，得出物体运动的周期性，结合牛顿第二定律、运动学公式、动能定理进行求解．