Question

4．如图甲所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，场强大小E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{eL}$，电场右侧存在一垂直纸面向外的匀强磁场，现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A（0，$\frac{L}{2}$）点以初速度v₀沿x轴正方向射入电场，飞出电场后进入磁场区域（不计电子的重力）．

（1）求电子进入磁场区域时速度v的大小和方向；
（2）若使电子不能进入x＞2L的区域，求磁感应强度的大小；
（3）若x＞L的区域改为如图乙所示周期性变化的磁场（以垂直于纸面向外为磁场正方向），在电子从A点出发的同时，一不带电的粒子P从N点沿x轴正方向做匀速直线运动，最终两粒子相碰，求粒子P的速度．

Answer 1

分析 （1）电子在匀强电场中做类平抛运动，应用类平抛运动的规律可以求出电子的速度．
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律求出磁感应强度．
（3）根据电子做圆周运动的周期求出粒子与电子相碰撞的时间，粒子做匀速直线运动，应用速度公式可以求出粒子P的速度．

解答 解：（1）电子在电场中做类平抛运动，
水平方向：L=v₀t₁，
竖直方向：v_y=at₁=$\frac{eE}{m}$t₁，
电子离开电场时的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
解得：v=$\sqrt{2}$v₀，
速度与x轴方向夹角θ，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，
解得：θ=45°；
（2）电子在电场中竖直方向的位移：y=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{eE}{m}$t₁²=$\frac{L}{2}$，
电子从N点进入磁场，电子不能进入x＞2L的区域，由几何关系可知：Rsinθ+R≤L，
电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B≥$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{eL}$；
（3）电子在磁场中做匀速圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{e{B}_{0}}$=$\frac{2πL}{{v}_{0}}$，
电子运动轨迹如图所示，电子轨道半径：r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{e{B}_{0}}$=$\sqrt{2}$L，
电子经过x轴的时间：t₂=n$\frac{T}{4}$=$\frac{nπL}{2{v}_{0}}$  （n=1、2、3…）
粒子P与电阻相碰时的位移：x=$\sqrt{2}$nr  （n=1、2、3…），
两粒子相碰的时间：t=t₁+t₂，
粒子P的速度：v_P=$\frac{x}{t}$，
解得：v_P=$\frac{4n{v}_{0}}{2+nπ}$ （n=1、2、3…）；
答：（1）电子进入磁场区域时速度v的大小为$\sqrt{2}$v₀，与x轴方向夹45°角；
（2）若使电子不能进入x＞2L的区域，磁感应强度的大小为B≥$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{eL}$；
（3）粒子P的速度为$\frac{4n{v}_{0}}{2+nπ}$ （n=1、2、3…）．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，带电粒子在复合场中的运动，分别采用不同的处理方法；电子在电场中，关键是将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；在磁场中，关键要画出轨迹图分析，根据几何关系与牛顿第二定律求解．