Question

如图（a）所示，一质量为m的滑块（可视为质点）沿某斜面顶端A由静止滑下，已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ和滑块到斜面顶端的距离x的关系如图（b）所示．斜面倾角为37°，长为L，有一半径为R=

1

20

L的光滑竖直半圆轨道刚好与斜面底端B相接，且直径BC与水平面垂直，假设滑块经过B点时没有能量损失．求：
（1）滑块滑至斜面中点时的加速度大小；
（2）滑块滑至斜面底端时的速度大小；
（3）试分析滑块能否滑至光滑竖直半圆轨道的最高点C．如能，请求出在最高点时滑块对轨道的压力；如不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律求出滑块滑至斜面底端时的速度大小．
（2）根据动能定理求出滑块滑至斜面底端时的速度大小．
（3）根据牛顿第二定律求出滑块在最高点的最小速度，再通过动能定理求出最高点的速度，从而进行比较，判断能否到达最高点．

解答：解：（1）滑块滑到中点时，由（b）图可知，μ=0.5．
根据牛顿第二定律得，mgsin37°-μmgcos37°=ma
解得a=0.2g．
（2）滑块由顶端滑至底端，由动能定理得：mglsin37°+Wf=

1

2

mvB2
由图b的物理意义得：Wf=

.

f

l=-

0+mgcos37°

2

l=-

2

5

mgl
解得：vB=

2 5 gl

．
（3）设滑块能运动到C点，则从B到C，由动能定理：-mg?2R=

1

2

mvC2-

1

2

mvB2
解得：vC=

1 5 gl

．
如滑块恰好滑到C点：mg=m

vC′2

R

解得：vC′=

gR

=

1 20 gl

＜vC
所以滑块能够到达C点
当滑块滑到C点时：mg+N=m

vC2

R

解得N=3mg
由牛顿第三定律得滑块在C点时对轨道的压力N′=N=3mg．
答：（1）滑块滑至斜面中点时的加速度大小为0.2g．
（2）滑块滑至斜面底端时的速度大小vB=

2 5 gl

．
（3）能滑动半圆轨道的最高点，在最高点时滑块对轨道的压力为3mg．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律、动能定理等规律，综合性较强，对学生的能力要求较高，以及通过图象求出摩擦力做功是本题的难点．