Question

7．风洞飞行表演是一种高科技的惊险的娱乐项目，在某次表演中，假设风洞内向上的总风量和风速保持不变，质量为m的表演者通过调整身姿，可改变所受的向上的风力大小，以获得不同的运动效果，假设人体受风力大小与正对面积成正比，已知水平横躺时受风力面积最大，且人体站立时受风力面积为水平横躺时受风力面积的$\frac{1}{8}$，风洞内人体可上下移动的空间总高度AC=H，开始时，若人体与竖直方向成一定角度倾斜时，受风力有效面积是最大值的一半，恰好使表演者在最高点A点处于静止状态；后来，表演者从A点开始，先以向下的最大加速度匀加速下落，经过某处B点后，再以向上的最大加速度匀减速下落，刚好能在最低点C处减速为零，试求：
（1）表演者向上的最大加速度大小和向下的最大加速度大小；
（2）AB两点的高度差与BC两点的高度差之比；
（3）表演者从A点到C点减少的机械能．

Answer 1

分析 （1）由题意知，人体受风力大小与正对面积成正比，设最大风力为F_m，当受风力有效面积是最大值的一半时，人恰好静止，由此可以求得重力G=$\frac{1}{2}$F_m，
人站立时所受的风力最小，为$\frac{1}{8}$F_m，人匀加速下降的加速度最大．当平躺时减速下落的加速度最大，根据牛顿第二定律求向上和向下的最大加速度．
（2）对匀加速和匀减速过程，运用运动学速度位移公式分别列式，可求解AB两点的高度差与BC两点的高度差之比．
（3）表演者从A点到C点减少的机械能等于人克服风力做功，由功能关系求解．

解答 解：（1）设最大风力为F_m，由于人体受风力大小与正对面积成正比，故人站立时风力为$\frac{1}{8}$F_m
由于受风力有效面积是最大值的一半时，恰好可以静止，故可以求得人的重力 G=$\frac{1}{2}$F_m，则得 F_m=2G．
人站立时所受的风力最小，为$\frac{1}{8}$F_m，人匀加速下降的加速度最大．根据牛顿第二定律得：
向下的最大加速度大小 a₁=$\frac{mg-\frac{1}{8}{F}_{m}}{m}$=$\frac{mg-\frac{1}{8}×2mg}{m}$=$\frac{3}{4}$g
当人平躺下降时向上的加速度最大，根据牛顿第二定律得：
表演者向上的最大加速度大小 a₂=$\frac{{F}_{m}-mg}{m}$=g；
（2）设人下降的最大速度为v，由速度位移公式，得：
匀加速下降过程位移 x₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$
匀减速下降过程位移 x₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$
故x₁：x₂=a₂：a₁=4：3
则AB两点的高度差与BC两点的高度差之比为4：3．
（3）表演者从A点到C点减少的机械能等于人克服风力做功，由功能关系得：
△E=$\frac{1}{8}$F_mx₁+F_mx₂=$\frac{1}{8}$×2mg×$\frac{4}{7}$H+2mg×$\frac{3}{7}$H=mgH
答：
（1）表演者向上的最大加速度大小和向下的最大加速度大小分别为g和$\frac{3}{4}$g．
（2）AB两点的高度差与BC两点的高度差之比为4：3．
（3）表演者从A点到C点减少的机械能为mgH．

点评 本题关键将下降过程分为匀加速过程和匀减速过程，求出各个过程的加速度，然后根据运动学公式列式研究．