Question

7．如图（a）所示，倾角为θ的平行金属轨道AN和A′N′间距为L，与绝缘光滑曲面在NN′处用平滑圆弧相连接，金属轨道的NN′和MM′区间处于与轨道面垂直的匀强磁场中，轨道顶端接有定值电阻R和电压传感器，不计金属轨道电阻和一切摩擦，PP′是质量为m、电阻为r的金属棒．现开启电压传感器，将该金属棒从曲面上高H处静止释放，测得初始一段时间内的U-t（电压与时间关系）图象如图（b）所示（图中U_o为已知）．求：
（1）t₃-t₄时间内金属棒所受安培力的大小和方向；
（2）t₃时刻金属棒的速度大小；
（3）t₁-t₄时间内电阻R产生的总热能Q_R；

Answer 1

分析 （1）t₃-t₄时间内金属棒的运动从MM′返回NN′，由受力平衡求解安培力大小和方向．
（2）结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力表达式，可得t₃时刻金属棒的速度大小．
（3）t₄时刻棒NN′位置，由能量守恒可得电阻R产生的总热能Q_R；

解答 解：（1）t₃-t₄时间内金属棒做匀速运动，由平衡条件得：
F_A=mgsinθ，方向：沿金属轨道平面斜向上．
（2）在t₃时刻，金属棒受力平衡，则有：
$mgsinθ=B\frac{U_o}{R}L$，
得：$B=\frac{mgRsinθ}{{{U_0}L}}$
设金属棒速度为v₂，则有：${U_o}=\frac{{{v_2}BL}}{R+r}R$，
得：${v_2}={U_o}\frac{R+r}{BLR}={U_o}\frac{R+r}{{\frac{mgRsinθ}{{{U_0}L}}LR}}=\frac{{U_o^2（{R+r}）}}{{mg{R^2}sinθ}}$
（3）金属棒第一次滑到NN′的速度为v₁，则有：
$mgH=\frac{1}{2}mv_1^2$
对于金属棒从开始到t₄时间内，由能量守恒得：
${Q_R}=\frac{{\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_2^2}}{R+r}R=\frac{{mgH-\frac{1}{2}m{{[{\frac{{U_o^2（{R+r}）}}{{mg{R^2}sinθ}}}]}^2}}}{R+r}R$
答：（1）t₃-t₄时间内金属棒所受安培力的大小为mgsinθ，方向：沿金属轨道平面斜向上；
（2）t₃时刻金属棒的速度大小为$\frac{{U}_{0}（R+r）}{mg{R}^{2}sinθ}$；
（3）t₁-t₄时间内电阻R产生的总热能Q_R是$\frac{mgH-\frac{1}{2}m[\frac{{U}_{0}^{2}（R+r）}{mg{R}^{2}sinθ}]^{2}}{R+r}R$．

点评 正确分析金属棒的运动状态是解题的关键，要知道金属棒两端的电压不变时做匀速运动，再结合平衡条件、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力、能量守恒定律等规律解答．