Question

如图所示，可看成质点质量分别为m₁=1kg的物体A和m₂=2kg的物体B之间夹着一压缩的轻、短弹簧，两物体用细线绑着放在水平传送带上，物体与传送带间的动摩擦因数均为0.2，传送带两端与光滑水平地面相切．某一时刻烧断细线，同时传送带以v=3m/s的恒定速度沿顺时针方向运动（忽略传送带加速和弹簧弹开的时间）．弹开时，A获得的速度为v_A=4m/s，A、B距传送带两端的距离如图所示，（取g=10m/s²）求：

（1）弹开过程弹簧释放的弹性势能．
（2）A、B到达传送带两端时的速度大小．
（3）若在传送带两端外的水平地面上各固定放置一半径相同的光滑竖直圆轨道，要使两物体第一次冲上内圆轨道后都不脱离轨道，轨道半径应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）A、B弹簧系统在弹开过程动量和能量守恒列出等式求解
（2）弹开后B做加速运动，弹开后A做减速运动，根据动能定理求解
（3）欲使A、B均不脱离轨道，有两种情形：
①均能过轨道的最高点，②均不超过圆心等高处，根据牛顿第二定律和动能定理求解．

解答：解：（1）A、B、弹簧系统在弹开过程动量和能量守恒0=m₁v_A-m₂v_B
解得弹开后B的速度大小v_B=2m/s
Ep=

1

2

m1

v

2 A

+

1

2

m2

v

2 B

解得弹开过程弹簧释放的弹性势能E_p=12（J）
（2）弹开后B做加速运动，设B一直加速到右端，根据动能定理得
μm2glB=

1

2

m2

v

′2 B

-

1

2

m2

v

2 B

解得：

v

′ B

=3(m/s)
弹开后A做减速运动，设一直减速到左端，根据动能定理得
-μm1glA=

1

2

m1

v

′2 A

-

1

2

m1

v

2 A

解得：

v

′ A

=2

2

(m/s)
（3）欲使A、B均不脱离轨道，有两种情形：
①均能过轨道的最高点，设恰能过最高点
mg=m

v 2 c

R

在最低点速度为v₀，最低到最高过程，
根据动能定理得：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 c

+2mgR
解得：R=

v 2 0

5g

因

v

′ A

＜

v

′ B

，故取A，解得R1=

v ′2 A

5g

=0.16(m)
②均不超过圆心等高处，设恰到圆心等高处：

1

2

m

v

′2 0

=mgR2
解得：R2=

v ′2 0

2g

因

v

′ A

＜

v

′ B

，故取B，
解得R2=

v ′2 B

2g

=0.45(m)
综上：R≤0.16（m）或R≥0.45（m）
答：（1）弹开过程弹簧释放的弹性势能是12（J）．
（2）A、B到达传送带两端时的速度大小分别是2

2

m/s和3m/s．
（3）若轨道半径应满足条件是R≤0.16（m）或R≥0.45（m）

点评：此题要求熟练掌握动能定理、系统动量守恒、牛顿第二定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度较大，属于难题