Question

9．2015年11月3日，我国自主研发的火星探测器在第17届中国国际工业博览会上公开亮相，预计2020年前后发射．设想宇航员完成对火星表面的科学考察后，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，为了安全，返回舱与轨道对接时，必须具有相同的速度．已知返回舱与宇航员的总质量为m，火星的半径为R，轨道舱到火星表面的高度h，火星表面的重力加速度为g，返回舱与宇航员在返回的过程中需克服火星引力做功W=mg$\frac{hR}{R+h}$，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，求：
（1）轨道舱绕火星运行的速率；
（2）宇航员和返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力，万有引力提供向心力求出轨道舱绕火星运行的速率．
（2）结合返回舱与轨道舱对接时的动能，以及返回舱返回过程中克服引力做功的大小，根据能量守恒求出返回舱返回时至少具有的能量．

解答 解：（1）设火星的质量为M，返回舱在火星表面附近时，
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
设轨道舱的质量为m₀，速率为v，则
$G\frac{M{m}_{0}}{（R+h）^{2}}={m}_{0}\frac{{v}^{2}}{R+h}$，
解得$v=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．
（2）返回舱与轨道舱对接时，应具有的动能为
${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
依题意知，返回舱返回过程需克服引力做功W=$mg\frac{hR}{R+h}$，
返回舱返回时至少需要能量为W_总=E_k+W，
解得W_总=E_k+W，
解得W_总=$mgR[1-\frac{R}{2（R+h）}]$．
答：（1）轨道舱绕火星运行的速率为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$；
（2）宇航员和返回舱至少需要获得$mgR[1-\frac{R}{2（R+h）}]$的能量才能返回轨道舱．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．