Question

2．如图所示，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以v₀=1m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=0.5kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间的动摩擦因数μ₁=0.1，小物块与长木板间的动摩擦因数μ₂=0.6，圆弧轨道的半径为R=0.5m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=60°，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A、C两点的高度差；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度．

Answer 1

分析 （1）小球从A点抛出做平抛运动，将C点的速度进行分解，求出竖直分速度的大小，从而根据竖直方向上的运动规律求出AC两点的高度差．
（2）求出C点的速度，对C到D运用动能定理求出到达D点的速度，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出物块对轨道的压力．
（3）当小物块刚好不从长木板滑出时，与木板具有相同的速度，根据牛顿第二定律和运动学公式求出共同的速度，结合位移公式进行求解．

解答 解：（1）小物块在C点时的速度大小为：
${v}_{c}=\frac{{v}_{0}}{cosθ}=\frac{1}{\frac{1}{2}}m/s=2m/s$，
竖直分量为：${v}_{cy}={v}_{c}sinθ=2×\frac{\sqrt{3}}{2}m/s=\sqrt{3}m/s$，
下落的高度为：h=$\frac{{{v}_{cy}}^{2}}{2g}=\frac{3}{20}m=0.15m$．
（2）小物块由C到D的过程中，由动能定理得：
$mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
代入数据解得：v_D=3m/s，
小球在D点时由牛顿第二定律得：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
代入数据解得：F_N=28N，
由牛顿第三定律得，F_N′=F_N=28N，方向竖直向下．
（3）设小物块刚好滑到木板右端时与木板达到共同速度，大小为v，小物块在木板上滑行的过程中，小物块与长木板的加速度大小分别为：
${a}_{1}={μ}_{2}g=6m/{s}^{2}$，
${a}_{2}=\frac{{μ}_{2}mg-{μ}_{1}（m+M）g}{M}=9m/{s}^{2}$，
速度分别为v=v_D-a₁t=a₂t，
代入数据解得t=$\frac{1}{5}s$，v=$\frac{9}{5}m/s$，
物块位移${x}_{1}=\frac{{v}_{D}+v}{2}t=\frac{3+\frac{9}{5}}{2}×\frac{1}{5}=\frac{12}{25}m$，
木板位移${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=\frac{1}{2}×9×\frac{1}{25}m=\frac{9}{50}m$，
则L≥x₁-x₂=0.3m，即木板的长度至少是0.3m．
答：（1）A、C两点的高度差为0.15m；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力为28N；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度为0.3m．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、能量守恒定律等知识，综合性较强，关键理清物块的运动过程，选择合适的规律进行求解．