Question

为了尽量减少发射卫星时火箭所提供的能量，可以利用地球的自转，让卫星由西向东发射，现假设某火箭的发射场地就在赤道表面附近；
（1）如果使卫星在地球赤道面的附近做匀速圆周运动，则卫星相对于地心运行的速度大小是多少？卫星相对于地球表面运行的速度大小又是多少？
（2）如果某卫星的质量是2×10³kg，由于地球的自转使得卫星具有了一定的初动能，这一初动能即为利用地球的自转与地球没有自转相比较，火箭发射卫星时所节省的能量，求此能量的大小．
（已知万有引力恒量G=6.67×10^-11nm²/kg²，地球的半径为R=66.4×10³km，地球自转周期为24h，表面重力加速度为9.8m/s²，要求答案保留两位有效数字）

Answer 1

分析：1、由于地球自转，使卫星具有的初速度v′=

2πR

T

，在地面上附近重力提供向心力mg=m

v2

R

，解出此时速度v，该速度即为卫星对地心的速度，两速度之差为卫星相对于地面的速度．
2、根据能量守恒，节省的能量为由于地球自转而具有的动能，即Ek0=

1

2

mv′2，代入数据计算即可．

解答：解：（1）在发射之初，由于地球的自转，使得卫星具有一初速度，其大小为
v′=

2πR

T

=

2×3.14

24×60×60

×6.4×106m/s=0.47km/s
卫星在地球附近绕地球作圆周运动时重力提供向心力，设卫星作圆周运动的速度（即卫星对地心的速度）为v，由牛顿第二定律得mg=m

v2

R

即v=

Rg

=7.9km/s
∴对于地面的速度应达到v₀=v-v′=7.4km/s
（2）节省的能量Ek0=

1

2

mv′2=

1

2

×2×103×0.472×106=2.2×10⁸J
答：（1）卫星相对于地心运行的速度大小是7.9km/s，卫星相对于地球表面运行的速度大小是7.4km/s．
（2）火箭发射卫星时所节省的能量为2.2×10⁸J．

点评：本题难点是要理解卫星对于地心的速度和卫星对于地面的速度，这两个速度分别是什么含义，这是解题的关键．