Question

4．中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，届时发射一颗运动半径为r的绕月卫星，登月着陆器从绕月卫星出发，沿椭圆轨道降落到月球的表面上，与月球表面经多次碰撞和弹跳才停下来．假设着陆器在某次弹起到最大高度h时速度为v₁，紧接着着陆时速度为v₂，已知月球半径为R，着陆器质量为m，不计一切阻力和月球的自转．求：
（1）月球的密度是多少？
（2）若月球同步卫星轨道半径为4R，月球自转周期是多大？

Answer 1

分析 （1）根据水平位移和初速度求出平抛运动的时间，结合位移时间公式求出月球表面的重力加速度，结合密度公式求密度．
（2）根据万有引力提供向心力，求出卫星的周期．

解答 解：（1）着陆器从高度为h到第二次着陆，由机械能守恒有：mg_月h+$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₂²
得出月球表面的重力加速度为：g月=$\frac{{V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2}}{2h}$----------①
根据GM=${g}_{月}{R}^{2}$和$ρ.\frac{4}{3}π{R}^{3}=M$知，月球的密度ρ=$\frac{3（{V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2}）}{8GRπh}$
（2）由万有引力提供向心力有：$\frac{GMm}{16{R}^{2}}=4mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$------------②
黄金代换：GM=${g}_{月}{R}^{2}$---------③
联合得：T=$16π\sqrt{\frac{R}{g}}$=$16π\sqrt{\frac{2Rh}{{V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2}}}$
答：（1）月球的密度是$\frac{3（{V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2}）}{8GRπh}$（2）若月球同步卫星轨道半径为4R，月球自转周期是$16π\sqrt{\frac{2Rh}{{V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2}}}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力．并能灵活运用．