Question

14．2011年8月，“嫦娥二号”成功进入环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，若地球公转的周期为T，公转轨道半径为R，地球与飞行器间的距离为r，求：
（1）此飞行器在该拉格朗日点的运行速度；
（2）在地球和太阳所在的直线上还有这样的点（飞行器处于该点，集合不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动）吗？写出你的分析过程．

Answer 1

分析 飞行器与地球同步绕太阳运动，角速度相等，飞行器靠太阳和地球引力的合力提供向心力．
根据圆周运动求解此飞行器在该拉格朗日点的运行速度．

解答 解：（1）飞行器与地球同步绕太阳运动，角速度相等，周期相等，
地球公转的周期为T，公转轨道半径为R，地球与飞行器间的距离为r，
所以此飞行器在该拉格朗日点的运行速度v=$\frac{2π（R+r）}{T}$
（2）飞行器的向心力由太阳和地球引力的合力提供，$\frac{GMm}{{r}^{2}}$+$\frac{GM′m}{{（R+r）}^{2}}$=mrω²，
飞行器与地球同步绕太阳运动，角速度相等，为一定值，
所以除去图中的“日地拉格朗日点”外，则在“日-地”连线上具有上述功能的点的个数为0，
答：（1）此飞行器在该拉格朗日点的运行速度是$\frac{2π（R+r）}{T}$
（2）在地球和太阳所在的直线上没有这样的点．

点评 本题考查万有引力的应用，题目较为新颖，在解题时要注意分析向心力的来源及题目中隐含的条件．