Question

8．如图所示，物块A、木板B的质量均为m=1kg，不计A的大小，B板长L=3m．开始时A、B均静止．若t=0开始，A以水平初速度v₀=2m/s从B的最左端开始向右运动，同时给B施加一水平向右的恒力F=2N，在t=2.5s时撤去恒力F．已知A与B之间的动摩擦因数为μ₁=0.05、B与水平面之间的动摩擦因数为μ₂=0.1，g取10m/s²．
（1）刚对B施加水平恒力F时A、B各自的加速度；
（2）刚撤去恒力F时A、B各自的速度；
（3）最终A能从B上掉下来吗？若能，请计算说明；若不能，则A距B左端多远？

Answer 1

分析 （1）刚对B施加水平恒力F时，A和B都做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求出它们的加速度．
（2）结合速度时间公式求出刚撤去恒力F时A、B各自的速度．
（3）撤去拉力F后，假设A和B可以相对相对静止，以整体为对象，由牛顿第二定律求得加速度，再隔离A，求得摩擦力，从而判断A、B能否相对静止，再结合牛顿第二定律和位移公式求得A相对B的位移，从而分析出最终A能否从B上掉下来．

解答 解：（1）由牛顿第二定律得，A的加速度 a_A=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=0.5m/s²，水平向左  ①
B的加速度 a_B=$\frac{F+{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（2mg）}{m}$
解得 a_B=0.5m/s²，水平向右  ②
（2）设F作用时间t₁时A和B速度相等为v，则 v=v₀-a_At₁=a_Bt₁ ③
解得 v=1m/s，t₁=2s
物块和木板速度相等之后，因F=μ₂（2mg），故A和B一起以v=1m/s匀速运动0.5s
（3）有拉力F时A相对B向右滑动距离△x₁=$\frac{v+{v}_{0}}{2}{t}_{1}$-$\frac{v}{2}{t}_{1}$=$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$=$\frac{2}{2}$×2m=2m
撤去拉力F后，假设A和B可以相对相对静止，以整体为对象，有：
加速度 $a=\frac{{{μ_2}（2mg）}}{2m}={μ_2}g=1m/{s^2}$
隔离A，此时受到静摩擦力f_A=ma=1N大于最大静摩擦力 f_max=μ₁mg=0.5N，方向向左，减速运动
对B加速度 ${a'_B}=\frac{{{μ_2}（2mg）-{μ_1}mg}}{m}=1.5m/{s^2}$，方向向左，减速运动
假设A不会从B上掉下来，则有A相对B向右滑动距离 $△{x_2}=\frac{v^2}{{2{{a'}_A}}}-\frac{v^2}{{2{{a'}_B}}}{t_1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}m$
A相对B向右滑动总距离 $d=△{x_1}+△{x_2}=2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}m=2.67m＜L$
故A不会从B上掉下来，A距B左端2.67m
答：
（1）刚对B施加水平恒力F时A、B各自的加速度都为0.5m/s²；
（2）刚撤去恒力F时A、B各自的速度是1m/s．
（3）A不会从B上掉下来，A距B左端2.67m．

点评 解决本题的关键理清A、B的运动过程，采用隔离法和整体法相结合，由牛顿第二定律求加速度，由运动学公式分段研究．