Question

【题目】如图所示，M、N是足够长的水平绝缘轨道上相距为R的两点，MN两点间粗糙，其余部分光滑，在以MN为边界的竖直空间加一个场强方向向右的匀强电场，在N点的右侧有一个长为R可以绕O点在竖直面内自由转动的轻杆，轻杆下端固定一个质量为m的小球B，B与轨道恰好接触没有挤压，现有一个带正电的质量为m的物块A，在M点以速度v0向右进入电场区域，已知A与轨道MN间的摩擦力f= mg，A所受的电场力F=mg，设A、B可以看成质点，整个过程中A的电荷量保持不变，求：

（1）若v0= ，则A向右运动离开电场与B第一次碰撞前速度多大？
（2）若v0= ，A和B第一次碰撞后，B球刚好能到达最高点，则AB碰撞过程中损失多少机械能？
（3）将B球换成弹性小球，A和B每次碰撞均交换速度，若0＜v0＜ ，试讨论A在电场中通过的总路程与v0的关系．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A向右运动离开电场时的速度为v，由动能定理，得（F﹣μmg）R=

解得v=3

答：若v0= ，则A向右运动离开电场与B第一次碰撞前速度为3

（2）解：设AB碰撞后A、B的速度分别为vA、vB

B球刚好到达最高点，则此时vB=0

对B，由动能定理，得﹣mg2R=0﹣

A、B碰撞，动量守恒，则mv=mvA+mvB

联立解得vA= ，vB=2

A、 B碰撞过程中损失的机械能△E=

解得△E=2mgR

答：若v0= ，A和B第一次碰撞后，B球刚好能到达最高点，则AB碰撞过程中损失机械能为2mgR

（3）解：设A的速度为v1时，穿过电场后速度大小为vB=2 ，B球将越过最高点从A的左侧与A再次碰撞，A将不再进入电场．由动能定理得：

FR﹣fR=

解得v1=

ⅰ、即 ，A从右侧离开电场，在电场中的路程为R

若A的速度小于v1，AB碰后B不能运动到最高点，返回与A再次碰撞，A将再次进入电场，设A速度为v2时刚好可以从左侧离开电场，由动能定理得：﹣f2R=0﹣ ，解得v2=

ⅱ、即 时，A在电场中的路程为2R

ⅲ、当A的速度0＜v0≤ 时，A最终将停在电场右侧边界，由动能定理得：FR﹣fS =0﹣

解得 s=2R+

答：将B球换成弹性小球，A和B每次碰撞均交换速度，若0＜v0＜ ，A在电场中通过的总路程与v0的关系为①即 ，A从右侧离开电场，在电场中的路程为R；②即 时，A在电场中的路程为2R③当A的速0＜v0≤ 时，s=2R+

【解析】（1）由动能定理即可求得速度；（2）刚好到达最高点，速度为零，由动能定理及动量定理即可求的速度，根据能量守恒即可判断损失机械能；（3）讨论速度不同时，即可求的A在电场中通过的总路程与v0的关系；
【考点精析】掌握动能定理的综合应用和带电微粒（计重力）在电场中的运动是解答本题的根本，需要知道应用动能定理只考虑初、末状态，没有守恒条件的限制，也不受力的性质和物理过程的变化的影响.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用时间的动力学问题，都可以用动能定理分析和解答，而且一般都比用牛顿运动定律和机械能守恒定律简捷；带电颗粒:如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不能忽略重力；由于带电粒子在匀强电场中所受电场力与重力都是恒力，因此可以用两种方法处理:①正交分解法;②等效“重力”法．