Question

宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动；另一种形式是有三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．已知每个星体的质量均为m，引力常量为G．试求：
（1）第一种形式下，星体运动的线速度．
（2）第一种形式下，星体运动的周期；
（3）假设两种形式星体的运行周期相同，求第二种形式下星体运动的轨道半径．

Answer 1

分析：星球间的相互作用提供圆周运动向心力，根据几何关系求解圆周运动的向心力，根据运动的合成求星所受其它星球引力的合力提供向心力，列式求解．

解答：解：（1）第一种形式，设轨道半径为r，则据几何关系有：r=

2

2

a
以任一星体为研究对象，作受力图有：


∵如图以D为研究对象，D受三个力的合力提供D围绕圆周运动的向心力则有：
G

m2

( 2 a)2

+2G

m2

a2

cos450=m

v2

r

∴v=

(4+ 2 )Gm 4a

（2）根据周期定义有：
T=

2πr

v

∴可得：T=2πa

2a (4+ 2 )Gm

（3）第二种形式，设轨道半径为R，则位于等边三角形顶点的两星间距离为：L=2Rcos30°以做圆周运动的任一星体为研究对象：

∵G

m2

R2

+2G

m2

L2

cos300=m(

2π

T

)2R
∴R=a

3	6+2 3 12+3 2

答：（1）第一种形式下，星体运动的线速度v=

(4+ 2 )Gm 4a

．
（2）第一种形式下，星体运动的周期T=2πa

2a (4+ 2 )Gm

；
（3）假设两种形式星体的运行周期相同，求第二种形式下星体运动的轨道半径R=a

3	6+2 3 12+3 2

．

点评：多个星球间的万有引力的合力提供星球的圆周运动的向心力，熟练掌握星球间的几何关系，并用平行四边形定则求出星球的合力，是解决本题的关键．