Question

8．一个小圆环套在置于竖直面内半径为R的大圆环上，并能沿大圆环无摩擦地滑动．当大圆环绕一个穿过其中心的竖直轴转动时，小圆环便能相对静止在大圆环上的某一点，若该点与大圆环最低点的高度差为h，如图所示．试求：
（1）小圆环做圆周运动的半径r．
（2）大圆环转动的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出小圆环做圆周运动的半径；
（2）根据合力通过向心力，结合合力的大小以及转动半径的大小求出转动的角速度

解答 解：（1）由几何关系，易知小环做圆周运动的半径r=$\sqrt{{R^2}-{{（{R-h}）}^2}}=\sqrt{2Rh-{h^2}}$．
（2）对小环受力分析，如图所示根据牛顿第二定律，

有mgtanθ=mω²r，
而r=Rsinθ，
解得：$ω=\sqrt{\frac{g}{Rcosθ}}$=$\sqrt{\frac{g}{R-h}}$．
答：（1）小圆环做圆周运动的半径为$\sqrt{2Rh-{h}^{2}}$；
（2）大圆环转动的角速度为$\sqrt{\frac{g}{R-h}}$．

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，抓住向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解．