Question

5．一种离子分析器简化结构如图所示．电离室可将原子或分子电离为正离子，正离子陆续飘出右侧小孔（初速度视为零）进入电压为U的加速电场，离开加速电场后从O点沿x轴正方向进入半径为r的半圆形匀强磁场区域，O点为磁场区域圆心同时是坐标原点，y轴为磁场左边界．该磁场磁感应强度连续可调．在磁场的半圆形边界上紧挨放置多个“探测-计数器”，当磁感应强度为某值时，不同比荷的离子将被位置不同的“探测-计数器”探测到并计数．整个装置处于真空室内．某次研究时发现，当磁感应强度为B₀时，仅有位于P处的探测器有计数，P点与O点的连线与x轴正方向夹角
θ=30°．连续、缓慢减小（离子从进入磁场到被探测到的过程中，磁感应强度视为不变）磁感应强度的大小，发现当磁感应强度为$\frac{{B}_{0}}{2}$时，开始有两个探测器有计数．不计重力和离子间的相互作用．求：
（1）磁感应强度为B₀时，在P处被发现的离子的比荷$\frac{q}{π}$，以及这种离子在磁场中运动的时间t．
（2）使得后被发现的离子，在P处被探测到的磁感应强度B．
（3）当后发现的离子在P点被探测到时，先发现的离子被探测到的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）粒子经电场加速，由动能定理可求得加速后的速度，进入磁场后做匀速圆周运动，由洛仑兹力充当向心力可求得比荷，再由时间和周期的关系可求得离子在磁场中的时间；
（2）由几何关系可明确粒子的半径，再由洛仑兹力充当向心力可求得两种情况下的磁感应强度的大小关系；
（3）根据粒子在磁场中的运动规律，利用几何关系可明确离子被探测到的位置坐标．

解答 解：（1）加速过程有qU=$\frac{1}{2}$mv²
圆周运动有R=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$
由分析知R=r
得$\frac{q}{m}$=$\frac{2U}{{r}^{2}{B}_{0}^{2}}$
离子在磁场中运动的时间t=$\frac{T}{6}$=$\frac{πm}{3q{B}_{0}}$=$\frac{π{r}^{2}{B}_{0}}{6U}$
（2）由题意知，当磁感应强度为$\frac{{B}_{0}}{2}$时，后发现的离子在磁场半圆形边界与+y轴交点处被探测到，
此时其运动半径为$\frac{r}{2}$
有$\frac{r}{2}$=$\frac{m′v′}{q′\frac{{B}_{0}}{2}}$=$\frac{2m′v′}{2q′{B}_{0}}$
当这种离子在P处被探测到时，其运动半径为r
有r=$\frac{m′v′}{q′B}$
两式比较得B=$\frac{{B}_{0}}{4}$
（3）对先发现的离子，在P处被探测到有r=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$
当磁感应强度变为$\frac{{B}_{0}}{4}$时，其半径变为R?=4r
由几何关系有
x²+y²=r²
x²+（4r-y）²=（4r）²
得x=$\frac{\sqrt{63}}{8}$r，y=$\frac{r}{8}$；
答：（1）磁感应强度为B₀时，在P处被发现的离子的比荷为$\frac{2U}{{r}^{2}{B}_{0}^{2}}$，以及这种离子在磁场中运动的时间t为$\frac{π{r}^{2}{B}_{0}}{6U}$．
（2）使得后被发现的离子，在P处被探测到的磁感应强度B为$\frac{{B}_{0}}{4}$；
（3）当后发现的离子在P点被探测到时，先发现的离子被探测到的位置坐标为（$\frac{\sqrt{63}}{8}$r，$\frac{r}{8}$）．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，要注意正确分析粒子的运动过程，明确粒子在各种场的区域内的运动性质，再利用电场中由动能定理求解，而在磁场中注意圆心和半径的确定，根据洛仑兹力充当向心力可明确磁感应强度的大小关系．