Question

13．如图所示，某游戏中有一隧道跟半径为R=125m的圆形桥在M点相接，M为桥的顶点，桥上N点与圆心O的连线跟M0的夹角为37°，与MON在同一竖直面的平台上边缘P点比M点高h=20m．当玩具小车从M越过N点后，从P点水平射出的速度多大都不能直接击中它．为了使发射的小球能击中桥上的小车，速度v₀的取值范围是（不计空气阻力，sin37°=0.6，g取10m/s²）（　　）

• A． v₀＜30m/s
• B． v₀＞40m/s
• C． 22.5m/s≤v₀≤40m/s
• D． 22.5m/s≤v₀≤30m/s

Answer 1

分析 小球离开P点后做平抛运动，为了使发射的小球能击中桥上的小车，小球只能落在MN段上．临界情况：小球分别落在M点和N点，根据平抛运动的规律和几何关系结合求速度范围．

解答 解：为了使发射的小球能击中桥上的小车，小球只能落在MN段圆弧上．当小球的轨迹与N点相切时，即末速度与N点切线，小球落在MN段的高度范围为 h～h₁．
水平位移范围 x_M～x_N．
由几何关系可得 
  h₁=h+R（1-cos37°）=45m
落在M点时间为t_M，则
  h=$\frac{1}{2}g{t}_{M}^{2}$，得 t_M=2s
落在N点时间为t_N，则
  h₁=$\frac{1}{2}g{t}_{N}^{2}$，得 t_N=3s
小球的轨迹与N点相切时，利用平抛的速度角与位移角的关系可得
  $\frac{{h}_{1}}{{x}_{N}}$=tanβ=$\frac{1}{2}tan37°$
得 x_N=$\frac{8{h}_{1}}{3}$=120m
x_M=x_N-Rsin37°=45m
落在M点的速度 v_M=$\frac{{x}_{M}}{{t}_{M}}$=$\frac{45}{2}$=22.5m/s
落在N点的速度 vN=$\frac{{x}_{N}}{{t}_{N}}$=$\frac{120}{3}$=40m/s
所以有 22.5m/s≤v₀≤40m/s．故C正确．
故选：C

点评 解决本题的关键是利用几何知识和平抛运动的推论求小球的水平位移和竖直位移，再由运动学公式研究．