Question

12．如图所示，某一新型发电装置的发电管是横截面为矩形的水平管道，管道的长为L、宽为d、高为h，上下两面是绝缘板．前后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S和定值电阻R相连．整个管道置于磁感应强度大小为B、方向沿z轴正方向的匀强磁场中．管道内始终充满电阻率为ρ的导电液体（有大量的正、负离子），且开关闭合前后，液体在管道进、出口两端压强差的作用下，均以恒定速率v₀沿x轴正向流动．求：
（1）开关闭合前，M、N两板间的电势差大小U₀；
（2）若已知矩形管道的横截面积为S．在保持管道截面S及其他量不变的前提下，矩形管道的宽和高可任意调整．则开关闭合后电阻R可获得的最大功率P_m多大？

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力等于电场力，即可求解；
（2）由欧姆定律，结合电阻定律，及功率表达式，并依据数学知识求极值法，即可求解．

解答 解：（1）设带电离子所带的电荷量为q，由洛伦兹力与电场力平衡，有
qv₀B=q$\frac{{U}_{0}}{d}$                
得  U₀=Bdv₀
（2）开关闭合后，根据欧姆定律，有
I=$\frac{{U}_{0}}{R+r}$                     
两导体板间液体的电阻
r=ρ$\frac{d}{Lh}$        
电阻R获得的功率为P=I²R
解得：P=$（\frac{L{v}_{0}B}{\frac{LR}{d}+\frac{ρ}{L}}）^{2}R$
当$\frac{d}{h}=\frac{LR}{ρ}$时，电阻R获得功率最大，即最大功率为P_m=$\frac{LS{v}_{0}^{2}{B}^{2}}{4ρ}$               
答：（1）开关闭合前，M、N两板间的电势差大小Bdv₀；
（2）开关闭合后电阻R可获得的最大功率$\frac{LS{v}_{0}^{2}{B}^{2}}{4ρ}$．

点评 考查带电粒子受到洛伦兹力与电场力相平衡的应用，掌握压强公式与安培力表达式，注意液体受到安培力的模型建立，同时理解会求极值的方法．