Question

10．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，第工象限内有沿y轴负向的匀强电场，电场强度的大小为E，第IV象限内有垂直纸面向外的匀强磁场．在y轴的正半轴上，各点处均向x轴正向发射质量均为m、电荷量为q的带正电粒子，结果这些粒子均能从x轴上的Q占决入磁场，并且到Q点速度最小的粒子A，经磁场偏转后恰好从（0，一L）射出磁场，已知QQ=L，粒子的重力不计．求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小及粒子A在磁场中运动的时间；
（2）若某粒子c从y轴上的P点射出，经过Q点时，速度方向与x轴正向成30°，求OP的大小及该粒子在磁场中做圆周运动的半径．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用类平抛运动规律与牛顿第二定律求出磁感应强度，然后根据粒子在磁场中做圆周运动的周期求出粒子的运动时间．
（2）粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，应用类平抛运动规律与牛顿第二定律可以求出OP的长度与粒子的轨道半径．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：L=v₀t，竖直方向：v_y=$\frac{qE}{m}$t，
到达Q点时的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{L}{t}）^{2}+（\frac{qE}{m}t）^{2}}$，
当：$\frac{L}{t}$=$\frac{qE}{m}$t时，速度最小，为：v=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$，速度方向与x轴夹角为45°，
粒子经磁场偏转后从（0，-L）射出磁场，由几何知识可知，
粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=2$\sqrt{\frac{mE}{qL}}$，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁场中的运动时间：t=$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mL}{qE}}$；
（2）设P点的坐标为（0．y），粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：L=v₀t，竖直方向：y=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，
到Q点时，tan30°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，解得：y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$L，即OP的大小为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$L，
v_y=$\sqrt{\frac{2qEy}{m}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{3m}}$，粒子速度：v′=$\frac{{v}_{y}}{sin30°}$，
粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径：R=$\frac{mv′}{qB}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{3}}$L；
答：（1）匀强磁场的磁感应强度大小为2$\sqrt{\frac{mE}{qL}}$，粒子A在磁场中运动的时间为$\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mL}{qE}}$；
（2）OP的大小为$\frac{\sqrt{3}}{6}$L，该粒子在磁场中做圆周运动的半径为$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{3}}$L．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，分析清楚粒子运动过程是解题的关键，应用类平抛运动规律与牛顿第二定律可以解题．