Question

17．在如图所示，坐标系xOy第一象限的三角形区域内（坐标如图中所标注）有垂直于纸面向外的匀强磁场，在x轴下方有沿+y方向的匀强电场，电场强度为E．将一个质量为m、电荷量为+q的粒子（重力不计）从P（0，-a）点由静止释放．由于x轴上存在一种特殊物质，使粒子每经过一次x轴速度大小变为穿过前的$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）欲使粒子能够再次经过x轴，求磁场的磁感应强度B₀的最小值．
（2）在磁感应强度等于第（1）问中B₀的情况下，求粒子在电场和磁场中运动的总时间．

Answer 1

分析 （1）粒子进入磁场后的轨迹圆与磁场边界相切时，磁感应强度最小为B₀．由几何知识求出半径，然后由牛顿第二定律确定磁场强度；
（2）电场中运动时间由牛顿第二定律和速度公式求．画出粒子的运动轨迹，由t=$\frac{θ}{2π}$T求出磁场中运动时间．两者之和即为所求时间．

解答  解：（1）设粒子到O点时的速度为v₀，由动能定理得：
qEa=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qEa}{m}}$
粒子经过O点后，速度为v₁，则：
v₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v₀=$\sqrt{\frac{qEa}{m}}$
如图所示，粒子进入磁场后的轨迹圆与磁场边界相切时，轨迹半径最大，磁感应强度最小为B₀．设粒子轨道半径为R₁，有：
 R₁=$\sqrt{3}$a tan30°=a
由牛顿第二定律得：qB₀v₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：B₀=$\frac{m{v}_{1}}{q{R}_{1}}$=$\sqrt{\frac{mE}{qa}}$；
（2）如图，粒子经O₁点进入电场区域做匀减速运动，后又加速返回，再次进入磁场时的速率：v₂=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²v₁=$\frac{1}{2}$v₁，
则粒子在运动的时间为：t₁=$\frac{{v}_{0}}{\frac{qE}{m}}$+2$\frac{{v}_{2}}{\frac{qE}{m}}$=$\sqrt{\frac{2ma}{qE}}$+2$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$
此时粒子做圆周运动的半径：R₂=$\frac{1}{2}{R}_{1}$=$\frac{1}{2}$a
其运动轨迹如图甲所示，此后不再进入磁场．由几何关系可知：∠MO₁′O₁=60°，
粒子在磁场中运动的周期为：T₁=T₂=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2π$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$
粒子在磁场中运动的时间为：t₂=$\frac{{T}_{1}}{2}$+$\frac{{T}_{2}}{6}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π{R}_{1}}{{v}_{1}}$+$\frac{1}{6}•\frac{2π{R}_{2}}{{v}_{2}}$=$\frac{4π}{3}\sqrt{\frac{ma}{qE}}$；
则粒子在电场和磁场中运动的总时间为：t=t₁+t₂=（2+$\sqrt{2}$+$\frac{4π}{3}$）$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$
答：（1）欲使粒子能够再次经过x轴，磁场的磁感应强度B₀最小是$\sqrt{\frac{mE}{qa}}$；
（2）在磁感应强度等于第（1）问中B₀的情况下，粒子在磁场中的运动时间为（2+$\sqrt{2}$+$\frac{4π}{3}$）$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$．

点评 本题的关键是作出临界轨迹，由几何知识求轨迹半径，根据动力学方法求电场中运动时间，由圆心角求磁场中运动时间．