Question

电磁炉专用平底锅和锅壁均由耐高温绝缘材料制成，起到加热作用的是安在锅底的一系列半径不同的同心导电环（如右图所示），导电环所用的材料每米的电阻为0.125πΩ，从中心向外第n个同心圆环的半径为r_n=（2n-1）r₁ （n=1，2，3，4，5，6，7），已知r₁=1.0cm．当电磁炉开启后，能够产生垂直于锅底方向的变化磁场，该磁场的磁感应强度B随时间的变化率为

△B

△t

=100

2

πsinωt T/s，求：
（1）半径为r₁的导电圆环中感应电流的最大值是多少？
（2）假设导电圆环产生的热全部以波长为1.0×10^-6m的红外线光子辐射出来，那么半径为r₁的导电圆环上每分钟辐射出的光子数是多少？
（3）若不计其它损失，所有导电圆环释放的总功率P是多少？
（以上计算中可取π²=10，h=6.6×10^-34J?s）

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律求出第n环中感应电动势的最大值，由欧姆定律求第n环中感应电流的最大值，再得到第1环的电流最大值．
（2）由题，电能全部转化为光能，根据能量守恒列式求光子数．光子的能量E=

hc

λ

．
（3）半径为r₁环的功率P₁为 P₁=I₁²R₁，根据功率公式得到半径为r_n环的功率P_n=I_n²R_n，再求总功率P．

解答：解：（1）设感应电动势为 E，感应电动势最大值为 E_max
由法拉第电磁感应定律可得  E=

△φ

△t

=

△B

△t

S=100

2

πsinωt?S    
则第n环中感应电动势最大值  E _max=100

2

π?πr_n²
代入数据解得  E_max=10³

2

 r_n²                        
第n环的电阻为  R_n=0.125π?2πr_n=2.5r_n                    
第n环的电流最大值为 I_max=

Emax

rn

=400

2

 r_n
代入数据解得，第1 环的电流最大值为 I_1max=400

2

×10^-2A=4

2

A 
（2）设半径为r₁导电圆环上每分钟辐射的光子数为 N，电能全部转化为光能．
  I₁²R₁t₁=N 

hc

λ

      ①
 I ₁=

2

2

I_1max=4A   ②
由①、②可得 N=1.2×10²⁰                                 
（3）半径为r₁环的功率P₁为 P₁=I₁²R₁=0.4w                             
半径为r_n环的功率P_n，则 P_n=I_n²R_n=（

Imax

2

r_n）²×2.5r_n=400²×2.5r_n³=（2n-1）³P₁  
7个导电圆环释放的总功率P
  P=P₁+P₂+P₃+P₄+P₅+P₆+P₇=1.9×10³W            
答：
（1）半径为r₁的导电圆环中感应电流的最大值是4

2

A．
（2）半径为r₁的导电圆环上每分钟辐射出的光子数是1.2×10²⁰．
（3）若不计其它损失，所有导电圆环释放的总功率P是1.9×10³W．

点评：本题关键是根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律得到感应电流的通项，再求特殊值，按一般到特殊的思路进行求解．