Question

质量均为m的小球B与小球C之间用一根轻质弹簧连接．现把它们放置在竖直固定的内壁光滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为x₀，如图所示，设弹簧的弹性势能与弹簧的形变量（即伸长量或缩短量）的平方成正比．小球A从小球B的正上方距离为3x₀的P处自由落下，落在小球B上立刻与小球B粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，已知小球A的质量也为m时，它们恰能回到O点（设3个小球直径相等，且远小于x₀，略小于直圆筒内径），求：
（1）整个系统在上述过程中机械能是否守恒；
（2）求弹簧初始时刻的弹性势能；
（3）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据系统机械能守恒的条件判断在各个过程中是否守恒即可；
（2）弹簧从原长压缩到x₀的过程中，弹簧力与位移成线性关系，求出克服弹簧力的功，最大弹力等于物体的重力，且克服弹簧力的功等于弹簧增加的弹性势能，所以，弹簧被压缩后即初始时刻的弹性势能；
（3）当弹簧的弹力等于A、B两球的总重力时，小球A、B的速度最大，根据力的平衡求出两球下降的距离，再对系统运用机械能守恒定律，求出最大速度．

解答：解：（1）整个系统在A下落到与B碰撞前，只有重力做功，机械能守恒；AB碰撞过程中，系统机械能不守恒；AB碰撞后至回到O点过程中，机械能守恒．
（2）弹簧从原长压缩到x₀的过程中，弹簧力与位移成线性关系，所以，克服弹簧力的功可以由平均力求出：W=

Fm

2

x0
最大弹力等于物体的重力，且克服弹簧力的功等于弹簧增加的弹性势能，所以，弹簧被压缩后即厨师时刻的弹性势能E_p=W=

1

2

mgx0
（3）小球B处于平衡状态时．有（设k为弹簧的劲度系数）  kx₀=mg
则小球A与小球B一起向下运动到所受弹力kx与重力2mg平衡时
有速度最大值v_m，即kx=2mg    x=2x₀    
故此时弹簧的弹性势能为4E_P        
由能量守恒得：
E_p+

1

2

（2m）

v

2 1

+2mgx₀=

1

2

(2m)

v

2 m

+4E_p
所以：v_m=

2gx0

答：（1）不守恒．小球A自由落下过程，机械能守恒；小球A与小球B碰撞过程机械能有损失；一起向下运动，到达最低点后又向上运动，机械能守恒．
（2）弹簧初始时刻的弹性势能为

1

2

mgx0
（3）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值为

2gx0

点评：本题综合运用了动能定理，动量守恒定律、机械能守恒定律，综合性较强，关键是选择好研究的过程，运用合适的规律列式求解．