Question

6．倾角为θ的光滑斜面，斜面底端有物体A，顶端有物体B，二者通过轻绳绕过光滑定滑轮连接，如图．无初速释放．发现A物体恰可运动至斜面顶端．试求二物体的质量比．

Answer 1

分析 先计算出释放前系统的机械能，再计算出B刚要落地时，A的动能和势能，B落地后机械能变为0，系统的机械能就是A此时的动能和重力势能，再分析后一段A物体运动的过程，利用机械能守恒定律列出等式化简求解即可．

解答 解：设物体A的质量为m_A，物体B的质量为m_B，斜面的高度为h
以地面为重力势能的零势能面，
则释放前物体A和B的机械能E₁=m_Bgh
当B刚落到地面的瞬间，此时物体A沿着斜面向上运动了h，设此时两物体速度为v₁
由机械能守恒定律得：${m}_{B}gh={m}_{A}ghsinθ+\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}$①
B落在地面上后静止，此时系统所具有的机械能${E}_{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}+{m}_{A}ghsinθ$②
A物体恰可运动至斜面顶端，则A在顶端的动能为0
则由机械能守恒定律得：E₂=m_Agh③
将②③代入①联立可得${m}_{B}gh={m}_{A}gh+\frac{1}{2}{m}_{B}{v}^{2}$
将③代入②得$\frac{1}{2}{v}^{2}=gh（1-sinθ）$
代入可得m_Bgh=m_Agh+m_Bgh（1-sinθ）
即m_A=m_Bsinθ
故$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}=sinθ$
答：A物体与B物体的质量比为sinθ．

点评 本题难度较大，综合考查了机械能守恒定律，关键要分过程求解，找到B物体落地后系统的机械能．