Question

在真空中速度为v=6.4×10⁷ m/s的电子束连续地射入两平行极板之间(如图5-2-5所示).极板长度为L=8×10^-2 m,间距为d=5×10^-3 m.两极板不带电时,电子束将沿两极板之间的中线通过,在两极上加50 Hz的交变电压u=U₀sinωt.如果所加电压的最大值U₀超过某一值U_c,将开始出现以下现象：电子束有时能通过两极板;有时间断,不能通过.

图5-2-5

(1)求U_c的大小.

(2)求U₀为何值时才能使通过的时间(Δt)_通跟间断的时间(Δt)_断之比为(Δt)_通∶(Δt)_断=2∶1.(电子质量m=0.91×10^-30 kg,电子电荷量e=1.60×10^-19 C)

Answer 1

思路分析：题中给出的是某种现象,解题时首先要把产生该现象的原因分析清楚.知道了为什么产生该现象,求解就容易了.各种物理现象都是在一定条件下发生的,如本题中电子能否穿越极板,决定于电压高低这一条件.会不会独立地分析题中所包含的条件,并能把它用数学式表达出来,这是区分能力高低的一个重要标志.分析和表达出题中所包含的条件,如本题中,注意到电子在电场中偏转距离与电压成正比,从而得到·=,这也是解题的关键.

解析：首先注意到电子通过两极板间的时间t== s=1.25×10^-9 s,交变电压的周期T=2π/ω=1/f=2×10^-2 s,即t＜＜T.在电子通过两极板间的时间内,交变电压的数值变化极小,可以认为在这极短时间内电压不变,电子所受的电场力可以认为是恒力.

(1)电子射入两极板间的匀强电场中后,沿v方向做匀速直线运动,沿垂直v的方向在恒定电场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动.若两极板间电压为U,则场强E=,电场力F=,加速度a=.电子在v方向和垂直v方向的运动方程为

解得y=·.

如果y＜d/2,则电子可以通过两极板;如果y＞d/2,则电子将打到其中一个极板上,而不能通过两极板;如果y=d/2,则所对应的电压就是所要求的U_c的值,所以

·=

故U_c=

= V

=91 V.

(2)当两极板间电压U＞U_c时,电子不能通过两极板;U＜U_c时,电子能通过两极板.交变电压的正半周和负半周是对称的,我们只要分析正半周即可.

图5-2-6

题意要求(Δt)_通∶(Δt)_断=2∶1,为此,把正半周期的时间T/2分成3等份：T/6,T/3和T/2,如图5-2-6所示.在0—T/6和T/3—T/2的两段T/6时间内,电压U＜U_c,电子能通过两极板.在T/6—T/3的一段T/6时间内,电压U＞U_c,电子不能通过两极板.这就满足了(Δt)_通∶(Δt)_断=2∶1的要求.

所以U₀·sinω=U_c,即U₀·sin=U_c.

所以U₀=U_c=×91 V=105 V.

答案：(1)91 V  (2)105 V