Question

17．如图所示，长L=4m水平传送带以vo=6m/s的速度顺时针匀速转动，左侧有一半径为R₁=0.8m的$\frac{1}{4}$光滑圆弧，圆弧底部与皮带在同一水平线上，右侧有一半径为R₂=0.8m的半圆光滑细管，圆管上端口下部正好紧邻皮带且与皮带在同一水平线上，光滑水平地面上紧靠管口有一长度为L₁=9m、质量为M=6kg的木板，木板上端正好与管口底部在同一水平线上，木板的左方有一足够长的台阶，其高度正好与木板相同，木板左侧与台阶距离为L₂=lm，当木板与台阶碰撞时立即被粘住速度变为零．现将一质量为m=2kg的物块从$\frac{1}{4}$光滑圆弧的顶部A由静止释放，已知皮带与物块间的动摩擦因数为u₁=
0.2，物块与木板间的动摩擦因数u₂=0.3，物块与台阶表面的动摩擦因数也为u₂=0.3，g=l0m/s²，物块可视为质点，圆管粗细不计，试求：
（1）物块刚滑人圆管顶部C处的速度大小；
（2）物块滑到圆管底部D处对底部的压力；
（3）判断物块最终停在何处．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求出物块下滑到B点的速度，分析物块在传送带上的运动规律，根据动能定理求出物块刚滑人圆管顶部C处的速度大小．
（2）根据机械能守恒定律求出物块到达D处的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出物块对底部压力的大小．
（3）物块滑上木板后做匀减速运动，木板做匀加速运动，由牛顿第二定律求两者的加速度，由速度时间公式求出两者速度所用时间和共同速度，求出此过程木板通过的位移，从而分析两者速度能否相等．当木板被粘住后，木块继续滑行设滑上台阶运动，由动能定理求出物块在平台上滑行的距离，即可求解．

解答 解：（1）物块下滑到B点时的速度为v₁，由机械能守恒可得：
mgR₁=$\frac{1}{2}$m₁v₁²
代入数据解得：v₁=4m/s
因为v₀=6m/s＞v₁=4m/s，故物块滑上皮带后做匀加速运动，若一直加速由动能定理得：
μ₁mgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²
代入数据解得：v₂=4$\sqrt{2}$m/s＜v₀=6m/s
故物块一直匀加速，则滑块以v₂=4$\sqrt{2}$m/s滑入管口．
（2）由C点到D点由机械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}$mv₂²+mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₃²；
在D处，由牛顿第二运动定律：F_N-mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$
代入数据解得：F_N=180N
由牛顿第三运动定律可得：F_N′=F_N=180N
（3）物块滑上木板后最终共速为v₄，由牛顿第二运动定律：
μ₂mg=ma₁； 
μ₂mg=Ma₂；     
由运动学公式可得：
v₃-a₁t=a₂t
可得共速速度 v₄=a₂t=2m/s，水平向左  
此过程物块运动的位移为x₁，木板运动的位移为x₂，由动能定理得：
对物块有：μ₂mgx₁=$\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
对木板有：μ₂mgx₂=$\frac{1}{2}M{v}_{4}^{2}$
解得：x₁=10m，x₂=2m
由于x₁-x₂=8m＜L₁，两者共速需要木板运动x₂=2m＞L₂．因此物块与木板不能共速．
当木板被粘住后，木块继续滑行设滑上台阶运动x₃后停止
由动能定理得：μ₂mg（L₁+L₂+x₃）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
解得：x₃=$\frac{2}{3}$m，即离台阶右侧E点为$\frac{2}{3}$m处停下．
答：（1）物块刚滑人圆管顶部C处的速度大小是4$\sqrt{2}$m/s；
（2）物块滑到圆管底部D处对底部的压力是180N；
（3）物块最终在离台阶右侧E点为$\frac{2}{3}$m处停下．

点评 解决本题的关键要正确分析物块的运动过程，把握每个过程所遵守的物理规律，明确物块与木板速度相同这一临界状态，边计算边分析判断．