Question

1．已知弹簧的弹性势能E_P=$\frac{1}{2}$kx²，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量．如图，一轻质弹簧竖直立于水平地面上，下端固定，现将一小球从弹篑的正上方由静止释放，不计空气阻力，小球下落并压缩弹簧，弹簧始终处在弹性限度内．已知弹簧的劲度系数k=40N/m．小球释放位置离弹簧上端距离h=lm，小球质量m=lkg，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球下落过程的最大速度．
（2）弹簧被压缩到最短时小球的如加速度．

Answer 1

分析 （1）当弹簧的弹力和重力平衡时，小球的速度最大，根据胡克定律列式求解弹簧的压缩量，根据机械能守恒定律列式求解最大速度；
（2）弹簧被压缩到最短时，小球的速度为零，根据机械能守恒定律列式求解弹簧的压缩量，再根据牛顿第二定律列式求解加速度．

解答 解：（1）当弹簧弹力等于小球重力时，小球有最大速度v：
kx₁=mg
对小球和弹簧构成的系统由机械能守恒定律：
mg（h+x₁）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$
联立解得：
x₁=0.25m，
v=$\frac{3}{2}\sqrt{10}$m/s；
（2）设弹簧被压缩到最短时小球的加速度为a，弹簧的形变量为x₂，对小球和弹簧构成的系统由机械能守恒定律：
$mg（h+{x_2}）=\frac{1}{2}kx_2^2$
对小球由牛顿第二定律：
kx₂-mg=ma
联立解得：
x₂=1m，a=30m/s²；
答：（1）小球下落过程的最大速度为$\frac{3}{2}\sqrt{10}$m/s；
（2）弹簧被压缩到最短时小球的加速度大小为30m/s²．

点评 本题考查含弹簧的机械能守恒问题，关键是明确球和弹簧系统机械能守恒，同时要结合胡克定律和牛顿第二定律列式求解，注意弹簧的弹力是变力，在平衡位置速度最大，在加速度最大时速度最小．