Question

如图，一轻质弹簧一端固定、另一端与质量为M的小滑块连接，开始时滑块静止在水平导轨的O点，弹簧处于原长状态．导轨的OA段是粗糙的，其余部分都是光滑的．有一质量为m的子弹以大小为v的速度水平向右射入滑块，并很快停留在滑块中．之后，滑块先向右滑行并越过A点，然后再向左滑行，最后恰好停在出发点O处．
（1）求滑块滑行过程中弹簧弹性势能的最大值．
（2）滑块停在O点后，另一质量也为m的子弹以另一速度水平向右射入滑块并很快停留在滑块中，此后滑块滑行过程先后有两次经过O点．求第二颗子弹入射前的速度u的大小在什么范围内？

Answer 1

分析：（1）一颗子弹射入滑块后，根据动量守恒定律求出速度．滑块向右滑行至最右端时，弹簧弹性势能达到最大，由能量守恒定律列出方程．滑块由最右端向左滑行至O点，再由功能关系得到弹簧的弹性势能与OA段的长度的关系式，联立求出弹簧弹性势能的最大值．
（2）由动量守恒定律求出第二颗子弹射入滑块后滑块的速度，若滑块第一次返回O点时就停下，根据能量守恒定律求出速度u；若滑块第一次返回O点后继续向左滑行，再向右滑行，且重复第一次滑行过程，最后停在O点，由能量守恒定律求出速度u，联立即可得到速度u的范围．

解答：解：（1）设OA段的长度为l，与滑块间的动摩擦因数为μ．
设第一颗子弹射入滑块后滑块的速度为v₁，由动量守恒定律得：mv=（M+m）v₁ …①
滑块向右滑行至最右端时，弹簧弹性势能达到最大，设为E_P，由功能关系得：

1

2

（M+m）

v

2 1

=μ（M+m）gl+E_P…②
滑块由最右端向左滑行至O点，由功能关系得：E_P=μ（M+m）gl…③
解得：E_P=

m2v2

4(M+m)

…④
②设第二颗子弹射入滑块后滑块的速度为v₂，由动量守恒定律得：mu=（M+2m）v₂ …⑤．
若滑块第一次返回O点时就停下，则滑块的运动情况与前面的情况相同：

1

2

（M+2m）

v

2 2

=μ（M+2m）g?2l…⑥
解得u=

M+2m

M+m

v…⑦
若滑块第一次返回O点后继续向左滑行，再向右滑行，且重复第一次滑行过程，最后停在O点，则

1

2

（M+2m）

v

2 2

=μ（M+2m）g?4l…⑧
解得：u=

M+2m

M+m

2

v…⑨
第二颗子弹入射前的速度u的大小在以下范围内

M+2m

M+m

v＜u＜

M+2m

M+m

2

v  
答：（1）滑块滑行过程中弹簧弹性势能的最大值为

m2v2

4(M+m)

．
（2）第二颗子弹入射前的速度u的大小在以下范围内

M+2m

M+m

v＜u＜

M+2m

M+m

2

v．

点评：本题是动量守恒和能量守恒的综合，要挖掘隐含的临界条件，确定速度u的速度范围．