Question

13．如图甲所示，固定在水平桌边上的L双轨型平行金属导轨足够长，倾角为θ=53°，间距L=2m，电阻不计；导轨上两根金属棒ab、cd的阻值分别为R₁=25Ω，R₂=4Ω，ab棒的质量m₁=5.0kg，cd棒质量m₂=1.0kg，ab与导轨间的动摩擦因数μ₁=$\frac{2}{15}$，cd与导轨间的动摩擦因数μ₂=0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个导轨置于磁感应强度B=5T、方向垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场中．现让ab棒从导轨上离桌面某一高度处由静止释放，当它刚要滑出导轨时，cd棒也恰好开始滑动，且ab棒下滑阶段，通过ab棒的电荷量为q=2C；g取10m/s²．
（1）求在ab棒整个下滑阶段，ad棒中产生的热量；
（2）若ab棒无论从多高的位置释放，cd棒都不动，求ab棒质量满足的条件？

Answer 1

分析 （1）因两棒串联，所以两棒所受安培力大小相等，对cd棒分析，结合平衡，以及切割产生的感应电动势公式和欧姆定律求出cd棒恰好开始滑动时，ab棒的速度．根据电量的表达式q=$n\frac{△Φ}{{R}_{总}}$求出ab棒下滑的距离．对整个系统运用功能关系求出整个电路产生的热量，从而得出cd棒上产生的热量．
（2）抓住ab棒匀速运动，cd棒都未滑动，分别对ab棒和cd棒分析，抓住cd棒安培力在水平方向上的分力小于最大静摩擦力，求出ab棒质量满足的条件．

解答 解：（1）因两棒串联，所以两棒所受安培力大小相等，在cd棒刚滑动时，设ab棒的速度为v，此时对cd棒有：
BILsin37°=μ₂（m₂g+BILcos37°）
且$I=\frac{BLv}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，
联立解得：v=1.5m/s
设ab棒下滑的距离为x，则有：
q=$\frac{BLx}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
代入数据解得：x=1.2m    
对整个系统由功能关系得：
Q=（m₁gsinθ-μ₁m₁gcosθ）x$-\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$，
由串联电路知识可得cd棒产生的热量为：$Q′=\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}Q$，
联立上述方程并代入数据得：Q′=25.05J      
（2）分析可知，只要ab棒匀速运动cd棒都未滑动则满足要求，匀速运动时对ab棒：
F_安=m₁gsinθ-μ₁m₁gcosθ，
此时对cd棒：F_安•sinθ≤μ₂（m₂g+F_安cosθ），
代入数据解得：${m}_{1}≤\frac{125}{36}$kg≈3.47kg       
答：（1）ad棒中产生的热量为25.05J．
（2）ab棒质量满足的条件m₁≤3.47kg．

点评 本题是复杂的电磁感应现象，是电磁感应与力学知识、电路的综合，掌握电量的经验表达式q=$n\frac{△Φ}{{R}_{总}}$，以及能够正确地受力分析，抓住临界情况，结合共点力平衡和能量守恒进行求解．