Question

2．在真空中，边长为3L的正方形区域ABCD分成相等的三部分，左右两侧为匀强磁场，中间区域为匀强电场，如图所示．左侧磁场的磁感应强度大小为B₁=$\frac{\sqrt{6mqU}}{2qL}$，方向垂直纸面向外；右侧磁场的磁感应强度大小为B₂=$\sqrt{\frac{6mqU}{qL}}$，方向垂直于纸面向里；中间区域电场方向与正方形区域的上下边界平行．一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从平行金属板的正极板开始由静止被加速，加速电压为U，加速后粒子从a点进入左侧磁场，又从距正方形上下边界等间距的b点沿与电场平行的方向进入中间区域的电场中，不计粒子重力，求：
（1）a点到A点的距离；
（2）电场强度E的取值在什么范围内时粒子能从右侧磁场的上边缘CC₁间离开；
（3）改变中间区域的电场方向和场强大小，粒子可从D点射出，粒子在左右两侧磁场中运动的总时间是多少．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子经加速电场加速后的速度，结合洛伦兹力提供向心力，通过半径公式和几何关系求出a点到A点的距离；
（2）作出粒子在右侧磁场中沿半径为R_n和R_m的两临界轨道从上边缘CC₁离开磁场时的轨迹，通过半径公式、动能定理以及几何关系求出电场强度的取值范围；
（3）作出粒子的运动轨迹，根据周期公式以及粒子在磁场中的圆心角求出粒子在左右两侧磁场中运动的总时间．

解答 解：（1）粒子在金属板电场加速时
$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$                   ①
粒子在左侧磁场中运动时，有
$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$                    ②
$sinα=\frac{L}{{R}_{1}}$                      ③
a到A点的距离
$x=\frac{3L}{2}-{R}_{1}（1-cosα）$             ④
由①～④式解得
$x=（\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}）L$．

（2）如图甲所示，粒子在右侧磁场中沿半径为R_n和R_m的两临界轨道从上边缘CC₁离开磁场时，有
${R}_{n}=\frac{3}{4}L$                      ⑤
R_m=L                         ⑥
又$q{v}_{n}{B}_{2}=m\frac{{{v}_{n}}^{2}}{{R}_{n}}$                      ⑦
$q{v}_{m}{B}_{2}=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{{R}_{m}}$                       ⑧
粒子在中间电场运动时
$q{E}_{n}L=\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$           ⑨
$q{E}_{m}L=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$         ⑩
由①⑤⑦⑧⑨⑩式解得
  ${E}_{n}=\frac{11U}{16L}$，${E}_{m}=\frac{2U}{L}$       
电场强度的取值范围为
$\frac{11U}{16L}＜E＜\frac{2U}{L}$
（3）粒子在左右磁场运动
${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{1}}$⑪
${T}_{2}=\frac{2πm}{q{B}_{2}}$⑫
必须改变中间区域的电场方向并取定电场E的某一恰当确定数值，粒子才能沿如图乙所示的轨迹从D点射出．
由①～③式可得α=60°，有
$t=\frac{{T}_{1}}{3}+\frac{{T}_{2}}{2}$⑬
由⑪⑫⑬式解得
$t=\frac{7πL}{3}\sqrt{\frac{m}{6qU}}$．
答：（1）a点到A点的距离为$（\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}）L$；
（2）电场强度E的取值在$\frac{11U}{16L}＜E＜\frac{2U}{L}$范围内时粒子能从右侧磁场的上边缘CC₁间离开；
（3）粒子在左右两侧磁场中运动的总时间是$\frac{7πL}{3}\sqrt{\frac{m}{6qU}}$．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，解题关键是画出粒子的运动轨迹，运用几何知识，结合半径公式和周期公式进行求解．