Question

19．如图所示，有一半径为r=0.2m的圆柱绕竖直轴OO′以ω=9rad/s的角速度匀速转动．今用力F将质量为1kg的物体A压在圆柱侧面，使其以v₀=2.4m/s的速度匀速下降．若物体A与圆柱面的动摩擦因数μ=0.25，（已知物体A在水平方向受光滑挡板的作用，不能随轴一起转动）求：
（1）A相对于圆柱体的速度大小和A相对于圆柱体的速度与竖直方向夹角θ；
（2）力F的大小．

Answer 1

分析 （1）物体A匀速下降，受力平衡，物体受到重力、外力F、圆柱体的支持力和滑动摩擦力，而滑动摩擦力方向与物体相对于圆柱体的速度方向相反．物体A既以v₀=2.4m/s的速度竖直下降，又相对圆柱体转动，先由 v′=ωr求出A相对圆柱体垂直纸面向外的速度v′，得到合速度v，由cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}=\frac{4}{5}$，求出合速度与竖直方向的夹角θ，
（1）求出合速度与竖直方向的夹角θ，就可确定出滑动摩擦力的方向，再根据平衡条件和摩擦力公式F_f=μF_N，求解力F的大小．

解答 解：（1）在水平方向圆柱体有垂直纸面向里的速度，A相对圆柱体有垂直纸面向外的速度为v′
 则v′=ωr=9rad/s×0.2m=1.8m/s；
在竖直方向有向下的速度v₀=2.4m/s
则A相对于圆柱体的速度大小v=$\sqrt{v{′}^{2}+{v}_{0}^{2}}=3m/s$
A相对于圆柱体的速度与竖直方向夹角为θ，则sinθ=$\frac{{v}^{′}}{v}=0.6$
可得θ=37°
（2）物体A做匀速运动，竖直方向平衡，则有
fcosθ=mg
得到f=$\frac{mg}{cosθ}=12.5N$
摩擦力f=μF
得$F=\frac{f}{μ}=50N$
答：（1）A相对于圆柱体的速度大小为3m/s，A相对于圆柱体的速度与竖直方向夹角θ为37°；
（2）力F的大小为50N．

点评 本题关键是运用运动的合成法确定合速度的方向和大小，即A相对于圆柱体的速度大小，再根据A相对于圆柱体的速度与竖直方向夹角θ，得到滑动摩擦力的方向，再利用摩擦力公式求解力F．