Question

18．游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来，如图甲所示，图乙是依照过山车原理制作的模型，半径为R=0.4m的圆轨道竖直放置．下端与弧形轨道相接，使质量为m=0.5kg的小球从弧形轨道上端无初速度滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动．实验表明，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点．（不考虑空气及摩擦阻力g=10m/s²）
（1）若小球恰能通过最高点，则小球在最高点的速度为多大？此时对应的h多高？
（2）若h=1.6m，则小球在通过圆轨道的最高点时对轨道的压力是多少？

Answer 1

分析 （1）小球恰能通过最高点，那么小球在最高点时应该是恰好是物体的重力作为物体的向心力，由向心力的公式可以求得此时的最小的速度，再由机械能守恒可以求得离地面的高度h．
（2）小球由静止运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律求得最高点的速度，由牛顿运动定律求解小球在通过圆轨道的最高点时对轨道的压力．

解答 解：（1）小球恰能通过最高点，即小球通过最高点时恰好不受轨道的压力，重力提供向心力．由牛顿运动定律有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
小球在最高点处的速度至少为：v=$\sqrt{gR}$=2m/s，
小球由静止运动到最高点的过程中，只有重力做功．由机械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2R，
代入数据解得：h=1m．
（2）h=1.6m时，小球由静止运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律有：
mgh=$\frac{1}{2}$mv′²+mg•2R，
小球在最高点，在重力和轨道的压力作用下做圆周运动．由牛顿运动定律有：
N+mg=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
代入数据联立解得：N=15N，
根据牛顿第三定律得：小球在通过圆轨道的最高点时对轨道的压力是15N；
答：（1）若小球恰能通过最高点，则小球在最高点的速度为2m/s，此时对应的h是1m．
（2）若h=1.6m，则小球在通过圆轨道的最高点时对轨道的压力是15N，方向：竖直向上．

点评 本题属于圆周运动中绳的模型，在最高点时应该是重力恰好做为圆周运动的向心力，对于圆周运动中的两种模型一定要牢牢的掌握住．