Question

如图所示为一种获得高能粒子的装置．环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调节的匀强磁场．质量为m、电量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动．A、B为两块中心开有小孔的极板．原来电势都为零，每当粒子飞经A板时，A板电势升高为+U，B板电势仍保持为零，粒子在两板间电场中得到加速．每当粒子离开B板时，A板电势又降为零．粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变．
（1）设t=0时，粒子静止在A板小孔处，在电场作用下加速．求粒子第一次穿过B板时速度的大小v₁；
（2）为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增．求粒子绕行第n圈时磁感应强度的大小B_n；
（3）求粒子绕行n圈所需的总时间t_n总（设极板间距离远小于R，粒子在A、B极板间运动的时间可忽略不计）．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，每加速一次，粒子的能量增加qU，根据动能定理求解粒子第一次穿过B板时速度的大小v₁；
（2）粒子的动能逐渐增加，速度就逐渐增加，由能量可表示出速度，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出第n圈时的磁感应强度B_n；．
（3）每圈的半径没有发生变化，由周长和每圈的速度即可求出每圈的时间，然后相累加，即可求得总时间t_n总．

解答：解：（1）粒子第一次加速过程，根据动能定理得
    qU=

1

2

m

v

2 1

解得，v₁=

2qU m

（2）粒子绕行第n圈时，nqU=

1

2

m

v

2 n

　　　　
粒子受到的洛伦兹力提供向心力，qv_nB_n=m

v 2 n

R

解得：B_n=

1

R

2nmU q

（3）粒子运动的周期表达式为：T_n=

2πR

vn

=

2πm

qBn

　　　　　　　　　　　　　　　　　
粒子绕行第1圈，所用时间为t₁=

2πm

qB1

，B₁=

1

R

2mU q

粒子绕行第2圈，所用时间为t₂=

2πm

qB2

，B₂=

1

R

2×2mU q

粒子绕行第3圈，所用时间为t₃=

2πm

qB3

，B₃=

1

R

2×3mU q

…
以此类推，粒子绕行第n圈，所用时间为　t_n=

2πm

qBn

，B_n=

1

R

2nmU q

　　　
解得：t_n总=t₁+t₂+t₃+…+t_n=2πR

m 2qU

（1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

）
答：（1）粒子第一次穿过B板时速度的大小v₁是

2qU m

．
（2）粒子绕行第n圈时磁感应强度的大小B_n是

1

R

2nmU q

．
（3）粒子绕行n圈所需的总时间t_n总是2πR

m 2qU

（1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

）．

点评：粒子加速器是利用磁场的偏转，使电场能重复对粒子加速，粒子在加速器内旋转时半径是不变化的，所以粒子加速器所加的磁场时要发生变化．速度越来越大，周期越来越小．解决此类问题，常用到能量的转化与守恒、粒子在匀强磁场中的运动半径和周期公式．