Question

如图所示，平面直角坐标系的y轴竖直向上，x轴上的P点与Q点关于坐标原点O对称，距离为2a．有一簇质量为m、带电量为+q的带电微粒，在xoy平面内，从P点以相同的速率斜向右上方的各个方向射出（即与x轴正方向的夹角θ，0°＜θ＜90°），经过某一个垂直于xoy平面向外、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场区域后，最终会聚到Q点，这些微粒的运动轨迹关于y轴对称．为使微粒的速率保持不变，需要在微粒的运动空间再施加一个匀强电场．重力加速度为g．求：
（1）匀强电场场强E的大小和方向；
（2）若一个与x轴正方向成30°角射出的微粒在磁场中运动的轨道半径也为a，求微粒从P点运动到Q点的时间t；
（3）若微粒从P点射出时的速率为v，试推导微粒在x＞0的区域中飞出磁场的位置坐标x与y之间的关系式．

Answer 1

（1）由题意知，要保证微粒的速率不变，则微粒所受电场力与重力平衡：
                 qE=mg…①
   解得：E=

mg

q

…②方向竖直向上
  （2）设A、C分别为微粒在磁场中运动的射入点和射出点，根据题意画出微粒的运动轨迹如图所示根据几何关系可得：
           

AC

=

2θ

360°

2πa…③
           PA=

a

cosθ

atanθ…④
设微粒运动的速率为v，由牛顿定律：
              qvB=m

v2

a

…⑤
微粒从P点运动到Q运动的路程为s，则：
              s=2PA+

AC

AC…⑥
               t=

s

v

联解③④⑤⑥得：
          t=

(2 3 +π)m

3qB

…⑦
（3）根据题意作出粒子在x＞0区域内的运动示意如图所示，设微粒飞出磁场位置为C，在磁场中运动的轨道半径为r，根据牛顿定律和几何关系可得：
           qBv=m

v2

r

…⑧
              x=rsinθ…（⑨
      y=(

a

cosθ

-rtanθ)sinθ   …⑩
联解（⑧⑨⑩）得：
    y=

Bq(ax-x2)

m2v2-B2q2x2

…（14）



答案为：（1匀强电场场强：E=

mg

q

，方向竖直向上
       （2）微粒从P点运动到Q点的时间：t=

(2 3 +π)m

3qB

        （3微粒在x＞0的区域中飞出磁场的位置坐标x与y之间的关系式：y=

Bq(ax-x2)

m2v2-B2q2x2