Question

16．如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第Ⅲ象限内充满+y方向的匀强电场，第Ⅰ象限的虚线右侧区域内有垂直与纸面向外的匀强磁场，一个质量为m、带电量为q的带电粒子以大小为v₀的初速度自P点（-2$\sqrt{3}d$，-d）沿+x方向运动．恰经原点O进入第Ⅰ象限，粒子穿过匀强磁场后，最终垂直通过x轴上的点Q进入第Ⅳ象限，已知匀强磁场的磁感应强度B=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$．不计粒子重力．求：
（1）求第Ⅲ象限内匀强电场的场强E的大小；
（2）Q点的坐标x_Q．

Answer 1

分析 （1）粒子在第Ⅲ象限做类平抛运动，根据类似平抛运动的分位移公式和牛顿第二定律列式求解即可；
（2）先根据类平抛运动的分运动公式求解末速度，然后根据磁场中洛伦兹力等于向心力列得求解轨道半径，再结合几何关系得到Q点的坐标x_Q．

解答 解：（1）粒子在第Ⅲ象限做类平抛运动，则有：
 2$\sqrt{3}$d=v₀t …①
 d=$\frac{1}{2}$at² …②
又由牛顿第二定律得：a=$\frac{qE}{m}$…③
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qd}$…④
（2）设粒子到达O点瞬间，速度大小为v，与x轴夹角为α：
则有：d=$\frac{{v}_{y}}{2}t$ …⑤
由①⑤解得：v_y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$…⑥
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=$\frac{π}{6}$…⑦
粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力：
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$…⑧
解得，粒子在匀强磁场中运动的半径：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{m•\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}}{q•\frac{m{v}_{0}}{qd}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d…⑨
根据几何知识得：Q点的坐标为：x_Q=R+$\frac{R}{sin30°}$=3R=$\sqrt{3}$d
答：（1）第Ⅲ象限内匀强电场的场强E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qd}$；
（2）Q点的坐标x_Q为$\sqrt{3}$d．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律，对于类平抛运动过程，根据分运动公式列式分析，对于圆周运动过程，根据牛顿第二定律列式分析，同时要画出轨迹分析．