Question

光滑曲面轨道末端切线水平，轨道末端点距离水平地面的高度为H=0.8m，一长度合适的木板两端分别搁在轨道末端点和水平地面之间，构成倾角为θ=37°的斜面，如图所示．一可视为质点的质量m=1kg小球，从距离轨道末端竖直高度为h=0.2m处由静止滑下．（不计空气阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）求小球从轨道末端点冲出后，第一次撞击木板时的位置距离木板上端点多远；
（2）若改变木板的长度，并使木板两端始终与平台和水平面相接，试通过计算推导小球第一次撞击木板时的动能随木板倾角θ的关系式，并在图中作出E_k-（tanθ）²．

Answer 1

分析：（1）当小球和木板撞击时，其平抛过程中位移方向和水平方向的夹角为θ，由平抛运动规律知tanθ=

y

x

，y和x分别表示竖直和水平位移．
（2）只要小球落到木板上，其运动过程中位移和水平方向的夹角即为θ，若速度和水平方向的夹角为α，则有tanα=tanθ，然后根据平抛运动中合速度和水平、竖直速度关系 即可求出小球动能，从而进一步推导出动能随木板倾角θ的关系式，进而画出图象．

解答：解：（1）小球下滑过程中机械能守恒，则有：mgh=

1

2

mv2，得v=

2gh

=2m/s，故小球从轨道末端点冲出瞬间的速度v₀=2m/s
当小球撞到木板上时，其位移与水平方向夹角为θ，则有：tanθ=

y

x

=

1 2 gt2

v0t

=

gt

2v0

   ①
水平方向：x=v₀t   ②
竖直方向：y=

1

2

gt2  ③
平抛位移：s=

x2+y2

  ④
联立①②③④解得：s=0.75m
故第一次撞击木板时的位置距离木板上端点距离为0.75m．
（2）当小球撞击木板时，有tanθ=

y

x

=

1 2 gt2

v0t

=

gt

2v0

所以：v_y=gt=2v₀tanθ
所以：Ek=

1

2

mv2=

1

2

m(

v02+vy2

)2=2+8tan²θ  （0＜tanθ≤1）
故第一次撞击木板时的动能随木板倾角θ的关系式为：E_k=（8tan²θ+2）J，其中0＜tanθ≤1
故其E_k-（tanθ）²图象如下图所示

答：（1）第一次撞击木板时的位置距离木板上端点距离为0.75m；
 （2）第一次撞击木板时的动能随木板倾角θ的关系式为：E_k=（8tan²θ+2）J，其中0＜tanθ≤1，图象如上图．

点评：平抛运动时高中阶段的一种重要的运动形式，要把握其水平方向和竖直方向运动特点，以及位移与水平方向、速度与水平方向夹角正切值的表达式等，并能灵活应用．