Question

19．在直角坐标系的二、三象限内有沿x轴正向的匀强电场，场强大小为E，在一、四象限内以x=L的直线为理想边界的左右两侧存在垂直于纸面向里的匀强磁场B₁和B₂，y轴为电场与磁场的理想边界．在x轴上x=L的A点有一个质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v沿与x轴负方向成45°的夹角垂直于磁场射出．粒子到达y轴时速度方向与y轴刚好垂直．若带电粒子经历在电场和磁场中的一系列运动后刚好能够返回A点．不计粒子的重力
（1）求B₁的大小；
（2）求粒子从A点出发到第一次返回到直线x=L上的时间；
（3）求B₂大小的可能值．

Answer 1

分析 （1）根据题设条件粒子带正电从A点射入磁场，能垂直打在y轴上，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据几何关系求出半径，即可求出${B}_{1}^{\;}$
（2）作出粒子运动轨迹，在电场中做匀变速直线运动，在磁场中做匀速圆周运动，分别求出在电场中运动的时间和在磁场${B}_{1}^{\;}$中运动的时间，即可求解；
（3）考虑到带电粒子经历在电场和磁场中的一系列运动后刚好能够返回A点，在磁场${B}_{2}^{\;}$中，只要满足n△y=2OP带电粒子就能够返回A点，再结合向心力方程联立即可求解．

解答 解：（1）设带电粒子在磁场B₁中的运动半径为R₁，根据题意有：${R}_{1}^{\;}sin45°=L$
洛伦兹力提供向心力，有：${B}_{1}^{\;}qv=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
解得：${B}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{2}mv}{2qL}$
（2）粒子在磁场B₁中的运动周期为：${T}_{1}^{\;}=\frac{2πm}{q{B}_{1}^{\;}}$
粒子在磁场B₁中的运动时间为：${t}_{1}^{\;}=\frac{1}{4}{T}_{1}^{\;}$
粒子在电场中运动的加速度为：$a=\frac{qE}{m}$
粒子在电场中匀减速运动和匀加速运动的时间相等，则时间为：${t}_{2}^{\;}=\frac{2v}{a}$
粒子从A点出发到第一次返回到直线x=L上的时间为：
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{2}πL}{2v}+\frac{2mv}{qE}$
（3）如图所示，设带电粒子在磁场B₂中的运动半径为R₂，带电粒子第一次出B₂磁场的位置和A点的距离为△y，有：
$△y=\sqrt{2}{R}_{2}^{\;}-2OP$

而$OP={R}_{1}^{\;}-L$
只要满足n△y=2OP带电粒子就能够返回A点
即$n[\sqrt{2}{R}_{2}^{\;}-2（\sqrt{2}-1）L]=2（\sqrt{2}-1）L$
解得${R}_{2}^{\;}=（1+\frac{1}{n}）（2-\sqrt{2}）L$
又由向心力方程${B}_{2}^{\;}qv=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$
得${B}_{2}^{\;}=\frac{n（2+\sqrt{2}）mv}{2（n+1）qL}$ （n=1，2，3，…）     
答：（1）B₁的大小为$\frac{\sqrt{2}mv}{2qL}$；
（2）粒子从A点出发到第一次返回到直线x=L上的时间$\frac{\sqrt{2}πL}{2v}+\frac{2mv}{qE}$；
（3）B₂大小的可能值$\frac{n（2+\sqrt{2}）mv}{2（n+1）qL}$（n=1，2，3，…）

点评 本题难点是根据题目给出的物理情境作出粒子运动的轨迹示意图，由图象根据几何关系求出粒子在两个磁场中运动的半径与已知量的关系，多过程中分析，需要细心细致的求解．