Question

7．如图所示，有一个质量为m=1kg的小球，从斜面上的A点以一定的初速度水平抛出，到达圆弧B点时，恰好沿B点的切线方向，进入固定在水平地面上竖直放置的半径为R=0.4m的光滑圆弧轨道，最后小球刚好能过最高点D．B点和圆弧圆心O的连线OB与竖直方向的半径OC的夹角θ=60°，不计空气阻力，g取10m/s²，求：
（1）小球到达D点时的速度大小；
（2）小球水平抛出的初速度的大小；
（3）小球在平抛运动过程中，离斜面的最远距离（计算结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）小球刚好能过最高点D，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出D点的速度．
（2）小球在光滑圆弧轨道上运动的过程中，遵守机械能守恒定律，由此定律可求得B点的速度．根据B点的速度沿B点的切线方向，将B点的速度进行分解可求得平抛运动的初速度．
（3）设斜面的倾角为α，根据tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$，求出α．当小球的速度平行于斜面时离斜面最远．由速度时间公式求出时间．将小球的平抛运动分解到垂直于斜面和平行于斜面两个方向，由分位移公式求解离斜面的最远距离．

解答 解：（1）在D点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
则有：v_D=$\sqrt{gR}$=2m/s
（2）小球从B运动到D的过程，由机械能守恒定律得：
mgR（1+cos60°）+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
则得：v_B=4m/s
设小球水平抛出的初速度的大小为v₀．
据题，小球到达圆弧B点时恰好沿B点的切线方向，速度与水平方向的夹角为60°．
则有：v₀=v_Bcos60°=2m/s
（3）小球经过B点时，竖直分速度为：
v_y=v_Bsin60°=2$\sqrt{3}$m/s
设斜面的倾角为α，根据tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由数学知识得：cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，sinα=$\frac{\sqrt{21}}{7}$
设小球从抛出经过时间T时离斜面最远．此时小球的速度与斜面平行．
则 gT=v₀tanα
可得 T=$\frac{\sqrt{3}}{10}$s
将小球的平抛运动分解到垂直于斜面和平行于斜面两个方向，垂直于斜面方向的分初速度为 v₀sinα，分加速度大小为 gcosα
则离斜面的最远距离为：
S=v₀sinαT-$\frac{1}{2}gcosα{•T}^{2}$
联立解得：S=$\frac{3\sqrt{7}}{70}$m
答：（1）小球到达D点时的速度大小是2m/s；
（2）小球水平抛出的初速度的大小是2m/s；
（3）小球在平抛运动过程中，离斜面的最远距离是$\frac{3\sqrt{7}}{70}$m．

点评 本题是抓住圆周运动最高点的临界条件：重力等于向心力，运用运动的分解法求平抛运动的时间和离斜面最远的距离．平抛运动的分解法有两种，两种都需要知道．