Question

11．如图所示，某游乐节目过程简化如下，脚上固定有滑盘的选手沿滑道滑入一长度为L的水平传送带的右端A，此时速度为v₀，传送带以恒定速度v（v＜v₀）向左传送．当滑到传送带左端B时，选手抓住竖直悬挂的绳子而向左摆 起，摆至左侧最高点C时，选手用力将手中的包袱沿垂直于绳子方向抛出．之后，选手随绳子摆回传送带左端，即刻放开绳子在传送带上滑行．选手（包括滑盘）和包袱的质量分别为m和km（0＜k＜1），均可看作质点，滑盘与传送带间的动摩擦因数为?，绳子的悬挂点到选手的距离L．不考虑空气阻力和绳的质量，重力加速度为g．
（1）求选手在传送带上滑行的加速度a；
（2）求向左运动滑到B点时的速度v_B；
（3）要确保抛出包袱后，选手最终能再次滑回A点，则包袱抛出时的速度v₁需满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据f=μmg求出摩擦力，然后由牛顿第二定律即可求出加速度；
（2）选手从A到B的过程中，摩擦力做功，速度减小，可能一直做减速运动，也可能先减速后匀速，要讨论，然后结合运动学的公式即可解答；
（3）先求出选手从B回到A的条件，然后结合动量守恒定律与运动学的公式分别讨论即可．

解答 解：（1）选手在传送带上受到重力、支持力和摩擦力的作用，沿水平方向：ma=f=μmg
所以：a=$\frac{μmg}{m}=μg$
（2）选手从A到B的过程中，摩擦力做功，速度减小，可能一直做减速运动，也可能先减速后匀速；
若一直减速，则：$-2aL={v}_{B}^{2}-{v}_{0}^{2}$
所以：${v}_{B}=\sqrt{{v}_{0}^{2}-2aL}=\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$，
若先减速后匀速，则选手到达B的速度与传送带的速度相等，即：v_B=v
（3）若选手能从B点返回A点，恰好返回A点时，到达A的速度恰好为0，则选手在B点的速度v₂满足：
$0-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}=-fL$
所以：${v}_{2}=\sqrt{2μgL}$，
如果选手的初速度v₀足够大，或传送带的速度足够大，v_B≥v₂，则选手只需要把包裹丢掉即可．
若选手的初速度比较小，或传送带的速度比较小，v_B＜v₂，选手到达C时，C点的高度h：$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
选手用力将手中的包袱沿垂直于绳子方向抛出的瞬间，在垂直于绳子的方向可以看做选手与包裹的动量守恒，选取包裹运动的方向为正方向，则：
km•v₁-mv′=0
所以：$v′=\frac{km{v}_{1}}{m}=k{v}_{1}$
选手从C回到B的过程中机械能守恒，得：
$\frac{1}{2}mv{′}^{2}+mgh=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
联立解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{3μgL-{v}_{0}^{2}}{{k}^{2}}}$
答：（1）选手在传送带上滑行的加速度是μg；
（2）向左运动滑到B点时的速度是v或$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$；
（3）要确保抛出包袱后，选手最终能再次滑回A点：
如果选手的初速度v₀足够大，或传送带的速度足够大，v_B≥v₂，则选手只需要把包裹丢掉即可．
若选手的初速度比较小，或传送带的速度比较小，v_B＜v₁，选手到达C时，包袱抛出时的速度v₁需满足大于或等于$\sqrt{\frac{3μgL-{v}_{0}^{2}}{{k}^{2}}}$．

点评 该题将传送带问题以及机械能守恒定律．动量守恒定律等半径难的知识点组合在一起，尤其是选手要返回，存在的可能的情况比较多，很容易出现疏漏．