Question

9．如图所示，一轻质弹簧左端固定在A点，自然状态时其右端位于O点．水平向右侧有一竖直光滑圆形轨道在C点与水平面平滑连接，圆心为O′，半径R=0.4m．另一轻质弹簧一端固定在O′点的轴上，一端栓着一个小球，弹簧的原长为l₀=0.5m，劲度系数k=100N/m．用质量m₁=0.4kg的物体将弹簧缓慢压缩到B点（物体与弹簧不栓接），物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.4，释放后物块恰运动到C点停止，BC间距离L=2m．换同种材料、质量m₂=0.2kg的物块重复上述过程．（物块、小球均视为质点，g=10m/s²）求：

（1）物块m₂到C点时的速度大小v_C；
（2）若小球的质量也为m₂，物块与小球碰撞后交换速度，论证小球是否能通过最高点D．若能通过，求出最高点轨道对小球的弹力N；若不能通过，求出小球离开轨道时的位置和O′连线与竖直方向的夹角θ；
（3）在（2）问的基础上，若将拴着小球的弹簧换为劲度系数k′=10N/m的弹簧，再次求解．

Answer 1

分析 （1）从B到C有动能定理可求得到达C点速度；
（2）假设通过最高点，从C到D由动能定理求的D点速度，在D点由牛顿第二定律即可判断；
（3）假设通过最高点，从C到D由动能定理求的D点速度，在D点由牛顿第二定律即可判断，在利用动能定理即可求的夹角

解答 解：（1）m₁从B到C的过程：E_P=μm₁gL
m₂从B到C的过程：${E_P}=μ{m_2}gL+\frac{1}{2}{m_2}v_C^2$
联立解得：v_C=4m/s
（2）碰后交换速度，小球以v_C=4m/s向上运动，假设能到高点，从C到D的过程：$\frac{1}{2}{m_2}v_D^2-\frac{1}{2}{m_2}v_C^2=-{m_2}g•2R$
解得：v_D=0m/s
对D点：N+m₂g-k（l₀-R）=0
解得：N=8N，求解结果合理，说明假设是正确的，小球可以通过最高点
（3）假设能到高点，最高点弹力：N'+m₂g-k'（l₀-R）=0
解得：N=-1N，求解结果的不合理，说明假设是错误的，小球不可以通过最高点）
小球离开轨道时的位置E和O'连线与竖直方向的夹角θ，此时小球速度v_E
由动能定理：$\frac{1}{2}{m_2}v_E^2-\frac{1}{2}{m_2}v_C^2=-{m_2}g（R+Rcosθ）$
对E点：${m_2}gcosθ-k'（{{l_0}-R}）={m_2}\frac{v_E^2}{R}$
联立解得：$cosθ=\frac{5}{6}$，
即：$θ=arccos\frac{5}{6}$
答：（1）物块m₂到C点时的速度大小4m/s
（2）若小球的质量也为m₂，若物块与小球碰撞后交换速度，小球能通过最高点D．轨道最高点对小球的弹力N为8N；
（3）若将拴着小球的弹簧换为劲度系数k'=10N/m，小球不能通过最高点D．夹角为$arccos\frac{5}{6}$

点评 本题是动能定理与向心力公式的综合应用来处理圆周运动问题．利用功能关系解题的优点在于不用分析复杂的运动过程，只关心初末状态即可，平时要加强训练深刻体会这一点．