Question

18．如图所示，表面绝缘、倾角θ=37°的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面的顶端固定有弹性挡板，挡板垂直于斜面，并与斜面底边平行．斜面所在空间有一宽度L=0.4m的匀强磁场区域，其边界与斜面底边平行，磁场方向垂直斜面向上，磁场上边界到挡板的距离s=$\frac{11}{15}$m，一个质量m=0.2kg、总电阻R=2.5Ω的单匝正方形闭合金属框abcd，其边长L=0.4m，放在斜面的底端，其中ab边与斜面底边重合．线框在垂直cd边沿斜面向上大小恒定的拉力F作用下，从静止开始运动，经t=0.5s线框的cd边到达磁场的下边界，此时线框的速度v₁=3m/s，此后线框匀速通过磁场区域，当线框ab的边离开磁场区域时撤去拉力，线框继续向上运动，并与挡板发生碰撞，碰后线框等速反弹．已知线框在整个运动过程中始终未脱离斜面，且保持ab边与斜面底边平行，线框与斜面之间的动摩擦因数μ=$\frac{3}{4}$，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8求：
（1）线框受到的恒定拉力F的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）若线框向下运动过程中最后静止在磁场中的某位置，求线框在斜面上运动的整个过程中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）线框进入磁场前做匀加速直线运动，已知时间和初末速度，由运动学公式求出加速度，由牛顿第二定律求解拉力F的大小；
（2）线框进入磁场区域后做匀速直线运动，推导出安培力表达式，由平衡条件求解磁感应强度B的大小；
（3）线框进入磁场区域后做匀速直线运动，并以速度v₁匀速穿出磁场，线框ab边离开磁场后向上做匀减速直线运动，到达档板时的位移为s-L，根据动能定理求出线框与挡板碰撞前的速度，线框碰档板后速度大小不变．分析线框向下运动的过程：线框下滑过程中，由于重力沿斜面方向的分力与滑动摩擦力大小相等，线框与挡板碰撞后向下做匀速运动，abab边刚进入磁场时的速度为v₂=1.0 m/s；进入磁场后因为又受到安培力作用而减速，做加速度逐渐变小的减速运动，根据焦耳定律求出线框向上运动通过磁场区域产生的焦耳热，根据能量守恒定律求出线框向下运动进入磁场的过程中产生的焦耳热．

解答 解：（1）线框进入磁场前做匀加速直线运动，加速度为
  a=$\frac{{v}_{1}}{t}$=$\frac{3}{0.5}$=6m/s²；
由牛顿第二定律得  F-mgsinθ-μmgcosθ=ma
解得 F=3.6N
（2）线框进入磁场区域后以速度v₁做匀速直线运动，则
产生的感应电动势 E=BLv₁
通过线框的电流 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL{v}_{1}}{R}$
线框所受安培力 F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
对于线框匀速运动的过程，由力的平衡条件，有
  F=mgsinθ+μmgcosθ+F_安
解得 B=2.5T
（3）线框ab边离开磁场后向上做匀减速直线运动，到达档板时的位移为 x=s-L=$\frac{1}{3}$m
设线框与挡板碰撞前的速度为v₂
此过程，由动能定理，有-mgxsinθ-μmgxcosθ=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 v₂=1m/s
因为μ=tan37°=$\frac{3}{4}$，mgsinθ=μmgcosθ，重力沿斜面方向的分力与滑动摩擦力大小相等，所以线框碰档板后向下匀速运动，速度大小仍为v₂，进入磁场后做减速运动，最后静止在磁场中的某个位置．
线框向上运动通过磁场区域产生的焦耳热 Q₁=I²Rt=$（\frac{BL{v}_{1}}{R}）^{2}$•R•$\frac{2L}{{v}_{1}}$=0.96J
线框向下运动进入磁场的过程中产生的焦耳热 Q₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=0.1J
所以线框在整个过程产生的总的焦耳热为 Q=Q₁+Q₂=1.06J
答：
（1）线框受到的拉力F的大小是3.6N；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小是2.5T；
（3）线框在斜面上运动的整个过程中产生的焦耳热Q是1.06J．

点评 分析线框的运动过程，要熟练运用平衡条件、牛顿第二定律、动能定理等力学规律处理电磁感应规律，综合性较强．