Question

1．为了使粒子经过一系列的运动后，又以原来的速率沿相反方向回到原位，可设计如下的一个电磁场区域（如图所示）：水平线QC以下是水平向左的匀强电场，区域Ⅰ（梯形PQCD）内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；区域Ⅱ（三角形APD）内的磁场方向与Ⅰ内相同，区域Ⅲ（虚线PD之上、三角形APD以外）的磁场与Ⅱ内大小相等、方向相反．已知等边三角形AQC的边长为2L，P、D分别为AQ、AC的中点．带正电的粒子从Q点正下方、距离Q点为L的O点以某一速度射出，在电场力作用下从QC边中点N以速度v₀垂直QC射入区域Ⅰ，再从P点垂直AQ射入区域Ⅲ，又经历一系列运动后返回O点．（粒子重力忽略不计）求：
（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$和电场强度的大小；
（2）粒子从O点出发再回到O点的整个运动过程所需时间；
（3）若区域Ⅱ区域Ⅲ磁感应强度B_n，大小相等，但与区域Ⅰ中可以不同，则B_n，应满足什么条件粒子能返回O点．

Answer 1

分析 （1）由粒子运动的对称性，从O点入射垂直电场线到达N点，可以看成是反过来的类平抛运动．由平抛运动规律列出一定的式子，结合在梯形磁场区域的匀速圆周运动就能求出电场强度E及粒子的比荷．
（2）由于两个特殊磁场区域内的磁感应强度大小相等，方向相反，所以粒子做匀速圆周运动的半径相同，可以判断从N到P是以Q为圆心逆时针转动60°，从P到D是以A为圆心顺时针转动300°，从D到N是又逆时针转动60°．然后做类平抛运动到O点，求总时间是三个区域内时间之和．
（3）第三问涉及多解问题：在前面两问中粒子只做了一次匀速圆周运动，现在是可以在区域Ⅱ区域Ⅲ多做几次匀速圆周运动，所以由对称性必须满足L=（2n+1）r，粒子才能返回到D点后再转回到N点．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律和洛仑兹力表达式有：$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
  将R=L代入解得：$\frac{q}{m}=\frac{{v}_{0}}{BL}$
  ON过程：${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{0}}$  
   $L=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×{{t}_{1}}^{2}$
  解得：E=2Bv₀
（2）带电粒子在电磁场中运动的总时间包括三段：电场中往返的时间t₁、区
   域Ⅰ中的时间t₂、区域Ⅲ中的时间t₃，
   ${t}_{2}=2×\frac{1}{6}×\frac{2πL}{{v}_{0}}=\frac{2πL}{3{v}_{0}}$ 
   ${t}_{3}=\frac{300°}{360°}T=\frac{5}{6}×\frac{2πL}{{v}_{0}}=\frac{5πL}{3{v}_{0}}$
   总时间：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2L}{{v}_{0}}+\frac{7πL}{3{v}_{0}}$
（3）粒子返回到O点，半径满足的条件为：L=（2n+1）r  
   由：$q{v}_{0}{B}_{n}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
  得：B_n=（2n+1）B    其中n=0，1，2，3，…
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$为$\frac{{v}_{0}}{BL}$、电场强度的大小2Bv₀．
（2）粒子从O点出发再回到O点的整个运动过程所需时间为$\frac{2L}{{v}_{0}}+\frac{7πL}{3{v}_{0}}$．
（3）若区域Ⅱ区域Ⅲ磁感应强度B_n，大小相等，但与区域Ⅰ中可以不同，则B_n应满足B_n=（2n+1）B，粒子能返回O点．

点评 本题虽说电、磁场区域复杂，但物理过程直观明确，几何关系也非常特殊，只是开始在电场中的运动是一个斜抛运动，但反过来看成一个平抛运动，由平抛规律及牛顿第二定律等可以求得结果．要说明的是第三问涉及多解问题，可以从最简单的情况出发，比如转一次、三次等，从而找到半径与L的关系，再求磁感应强度．