Question

【题目】如图，一竖直圆管质量为M，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一质量为m的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直。已知M =4m，球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg, g为重力加速度的大小，不计空气阻力。

（1）求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；

（2）管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；

（3）管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。

Answer 1

【答案】（1）a1=2g，a2=3g；（2）；（3）

【解析】

（1）管第一次落地弹起的瞬间，小球仍然向下运动。设此时管的加速度大小为a1，方向向下；球的加速度大小为a2，方向向上；球与管之间的摩擦力大小为f，由牛顿运动定律有

Ma1=Mg+f ①

ma2= f– mg ②

联立①②式并代入题给数据，得

a1=2g，a2=3g③

（2）管第一次碰地前与球的速度大小相同。由运动学公式，碰地前瞬间它们的速度大小均为

④

方向均向下。管弹起的瞬间，管的速度反向，球的速度方向依然向下。

设自弹起时经过时间t1，管与小球的速度刚好相同。取向上为正方向，由运动学公式

v0–a1t1= –v0+a2t1⑤

联立③④⑤式得

⑥

设此时管下端的高度为h1，速度为v。由运动学公式可得

⑦

⑧

由③④⑥⑧式可判断此时v>0。此后，管与小球将以加速度g减速上升h2，到达最高点。由运动学公式有

⑨

设管第一次落地弹起后上升的最大高度为H1，则

H1= h1+ h2⑩

联立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得

（3）设第一次弹起过程中球相对管的位移为x1。在管开始下落到上升H1这一过程中，由动能定理有

Mg（H–H1）+mg（H–H1+x1）–4mgx1=0

联立式并代入题给数据得

同理可推得，管与球从再次下落到第二次弹起至最高点的过程中，球与管的相对位移x2为

设圆管长度为L。管第二次落地弹起后的上升过程中，球不会滑出管外的条件是

x1+ x2≤L

联立式，L应满足条件为