Question

2．如图所示，一足够长的水平传送带以速度v₀匀速运动，质量均为m的小物块P和小物块Q由通过滑轮组的轻绳连接，轻绳足够长且不可伸长．某时刻物块P从传送带左端以速度2v₀冲上传送带，P与定滑轮间的绳子水平．已知物块P与传送带间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度为g，不计滑轮的质量与摩擦．求：
（1）运动过程中小物块P、Q的加速度大小之比；
（2）物块P刚冲上传送带到右方最远处的过程中，PQ系统机械能的改变量；
（3）若传送带以不同的速度v（0＜v＜2v₀）匀速运动，当v取多大时物块P向右冲到最远处时，P与传送带间产生的摩擦热最小？最小值为多大？

Answer 1

分析 （1）由图可知，P与Q的位移关系始终满足P的位移是Q的位移的2倍，结合：$s=\frac{1}{2}a{t}^{2}$求得加速度的比值；
（2）分别以P与Q为研究的对象，由牛顿第二定律求出加速度，然后结合运动学的公式，求出P与传送带的速度相等之前的位移；当P的速度与传送带相等后，分析摩擦力与绳子的拉力的关系，判断出P将继续减速，求出加速度，在结合运动学的公式求出位移，最后由功能关系求出机械能的该变量；
（3）结合（2）的解答过程，写出物体P相对于传送带的位移的表达式以及Q=fx_相对，然后即可求出产生的最小的热量．

解答 解：（1）设P的位移、加速度大小分别为s₁、a₁，Q的位移、加速度大小分别为s₂、a₂，
因s₁=2 s₂，故a₁=2a₂$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{2}{1}$
（2）对P有：μmg+T=ma₁
对Q有：mg-2T=ma₂
得：T=0.35mg，a₁=0.6g
P先减速到与传送带速度相同，设位移为x₁，
${x}_{1}=\frac{（2{v}_{0}）^{2}-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{5{v}_{0}^{2}}{2g}$
共速后，由于f=μmg＜$\frac{1}{2}$mg，P不可能随传送带一起匀速运动，继续向右减速，
设此时P加速度为a₁′，Q的加速度为${a}_{2}′=\frac{1}{2}{a}_{1}′$
对P有：T-μmg=ma₁′，对Q有：mg-2T=ma₂’解得：a₁′=0.2g  
设减速到0位移为x₂，${x}_{2}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}′}=\frac{5{v}_{0}^{2}}{2g}$ 
PQ系统机械能的改变量等于摩擦力对P做的功，△E=-μmgx₁+μmgx₂=0
（3）第一阶段P相对皮带向前，相对路程：${S}_{1}=\frac{（2{v}_{0}-v）^{2}}{2{a}_{1}}$ 
第二阶段相对皮带向后，相对路程：${S}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}′}$ 
摩擦产生的热Q=μmg（S₁+S₂）=$\frac{5}{6}m（{v}^{2}-v{v}_{0}+{v}_{0}^{2}）$ 
当$v=\frac{1}{2}{v}_{0}$时，
摩擦热最小$Q=\frac{5}{8}m{v}_{0}^{2}$
答：（1）运动过程中小物块P、Q的加速度大小之比是2：1；
（2）物块P刚冲上传送带到右方最远处的过程中，PQ系统机械能的改变量；
（3）若传送带以不同的速度v（0＜v＜2v₀）匀速运动，当$v=\frac{1}{2}{v}_{0}$时物块P向右冲到最远处时，P与传送带间产生的摩擦热最小，最小值为$\frac{5}{8}m{v}_{0}^{2}$

点评 本题考查牛顿第二定律及功能关系，要注意正确掌握功能的转化关系，明确热量等于摩擦力与相对位移的乘积．