Question

20．如图所示为“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的，固定在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连接而成的，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点水平射向b点并进入轨道，经过轨道后从p点水平抛出，已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.2，不计其他机械能损失，ab段长L=1.25m，圆的半径R=0.1m，小球质量m=0.01kg，轨道质量为M=0.15kg，g=10m/s²，求：
（1）若v₀=5m/s，小球从p点抛出后的水平射程；
（2）若v₀=5m/s，小球经过轨道的最高点时，管道对小球作用力的大小和方向；
（3）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v₀至少为多大时，轨道对地面的压力为零．

Answer 1

分析 （1）对a到p运用动能定理求出小球到达P点的速度，根据平抛运动的规律求出小物体抛出后的水平射程．
（2）根据牛顿第二定律求出管道对小物体的作用力大小和方向．
（3）当小球在“S”形道中间位置轨道对地面的压力为零，此时速度最小，根据动能定理，结合牛顿第二定律求出最小的速度．

解答 解：（1）设小物体运动到p点的速度大小为v，对小物体由a点运动到p点过程运用动能定理得，
$-μmgL-mg•4R=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
小物体自p点做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为s，则：
$4R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
s=vt
联立代入数据解得s=$0.4\sqrt{6}m$．
（2）设在轨道的最高点时管道对小物体的作用力大小为F，取竖直向下为正方向，根据牛顿第二定律得，F+mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
联立代入数据解得：
F=1.1N，方向竖直向下．
（3）分析可知，要使小球以最小速度v₀运动，且轨道对地面的压力为零，则小球的位移应该在“S”形道中间位置．
根据牛顿第二定律得，
$F′+mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
F′=Mg
根据动能定理得，$-μmgL-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得v₀=5m/s．
答：
（1）小物体从P点抛出后的水平射程为$0.4\sqrt{6}m$．
（2）管道对小物体作用力的大小为1.1N，方向竖直向下
（3）当v₀=5m/s，轨道对地面的压力为零．

点评 本题综合考查牛顿第二定律和动能定理的运用，难度中等，涉及到圆周运动，平抛运动，需加强这方面题型的训练．