Question

1．如图所示，两条平行金属轨道相距L=1m，它有与水平方向成θ=30°的光滑倾斜导轨和粗糙的水平导轨两部分，水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，倾斜导轨ef与ab间有垂直于斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B₁=1T．现将两金属棒MN和PQ分别置于水平导轨上和倾斜导轨的磁场区内，由静止释放，棒PQ沿导轨下滑，棒MN始终静止．已知两棒的质量均为m=0.1kg，电阻均为R=2Ω，棒MN与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒均与导轨垂直且接触良好，倾斜导轨有磁场区与无磁场区均足够长，不计导轨的电阻，重力加速度为g=10m/s²．
（1）求棒PQ下滑最大速度的大小；
（2）求棒PQ由静止释放到速度达到最大过程中，通过棒MN某横截面的电荷量q=0.5C，求该过程整个回路中产生的总焦耳热；
（3）若将棒PQ在ef上方与ef相距x的地方由静止释放，要使MN始终静止，求水平导轨处磁感应强度的最大值B₂与x之间的关系．

Answer 1

分析 （1）PQ棒先向下做加速度减小的变加速运动，后做匀速直线运动，速度达到最大．由法拉第定律、欧姆定律推导出安培力与速度的关系式，再由平衡条件求解最大速度．
（2）由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电流的定义式结合求解棒PQ下滑的距离，再由能量守恒定律求焦耳热．
（3）要使MN始终静止，PQ速度最大时也必须静止，由

解答 解：（1）设棒PQ下滑最大速度的大小为v_m．棒PQ的速度最大时做匀速直线运动．
由 E=B₁Lv_m，I=$\frac{E}{2R}$，F_安=B₁IL，得：
F_安=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{2R}$
棒PQ匀速运动时有：F_安=mgsinθ
联立得 v_m=$\frac{2mgRsinθ}{{B}_{1}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{2×0.1×10×2×0.5}{{1}^{2}×{1}^{2}}$=2m/s
（2）棒PQ由静止释放到速度达到最大过程中下滑的距离为s．通过棒MN某横截面的电荷量为：
q=$\overline{I}$t=$\frac{{B}_{1}L\overline{v}t}{2R}$=$\frac{{B}_{1}Ls}{2R}$
则有：s=$\frac{2qR}{BL}$=$\frac{2×0.5×2}{1×1}$=2m
根据能量守恒定律得整个回路中产生的总焦耳热为：
Q=mgssinθ-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=0.1×10×0.5-$\frac{1}{2}$×0.1×2²=0.3J
（3）将棒PQ在ef上方与ef相距x的地方由静止释放，到达ef时的速度为：
v=$\sqrt{2ax}$=$\sqrt{2gsin30°•x}$=$\sqrt{gx}$
PQ棒刚进入磁场时产生的感应电流为：
I=$\frac{{B}_{1}Lv}{2R}$
要使MN始终静止，则有：B₂IL≤μmg
联立得：
B₂≤$\frac{2μmgR}{{B}_{1}{L}^{2}\sqrt{gx}}$=$\frac{2×0.5×0.1×10×2}{1×{1}^{2}×\sqrt{10x}}$=$\sqrt{\frac{2}{5x}}$
答：（1）棒PQ下滑最大速度的大小是2m/s．
（2）该过程整个回路中产生的总焦耳热是0.3J．
（3）水平导轨处磁感应强度的最大值B₂与x之间的关系为B₂≤$\sqrt{\frac{2}{5x}}$．

点评 本题是双杆类型，分别研究它们运动过程和状态是基础，运用力学和电路、电磁感应的规律研究MN棒，对于感应电荷量，要熟悉一般表达式q=$\frac{△Φ}{R+r}$，知道电量可求导体棒的位移．