Question

（2011?湖南一模）如图甲所示，在边界MN左侧存在斜方向的匀强电场E₁，在MN的右侧有竖直向上、场强大小为E₂=0.4N/C的匀强电场，还有垂直纸面向内的匀强磁场B（图甲中未画出）和水平向右的匀强电场E₃（图甲中未画出），B和E₃随时间变化的情况如图乙所示，P₁P₂为距MN边界2.295m的竖直墙壁，现有一带正电微粒质量为4×10^-7kg，电量为1×10^-5C，从左侧电场中距MN边界

1

15

m的A处无初速释放后，沿直线以1m/s速度垂直MN边界进入右侧场区，设此时刻t=0，取g=10m/s²．求：
（1）MN左侧匀强电场的电场强度E₁的大小和方向（sin37°=0.6）；
（2）带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5s时的速度；
（3）带电微粒在MN右侧场区中运动多长时间与墙壁碰撞？（

1.2

2π

≈0.19）

Answer 1

分析：（1）粒子做直线运动，故重力和电场力的合力与速度方向在一条直线上，故电场力向右上方，与电场线同方向，然后对直线加速过程运用运动学公式求解出加速度，再根据牛顿第二定律列式分析求解；
（2）带电微粒在MN右侧场区中，重力和向上的电场力平衡，故在第1秒内直线加速，根据牛顿第二定律求出加速度，再根据运动学公式求解末速度，后0.5s内做匀速圆周运动，速度大小不变；
（3）带电微粒在MN右侧场区中运动过程中，第1秒向右直线加速，接下来的半秒做匀速匀速圆周运动，再接下来的1秒向左直线加速，再下来的半秒做匀速匀速圆周运动，直到与墙壁碰撞为止，根据牛顿第二定律和运动学公式列式联立求解即可．

解答：解：（1）设MN左侧匀强电场场强为E₁，方向与水平方向夹角为θ
带电小球受重力和电场力，由于粒子做直线运动，故电场力向右上方
沿水平方向有　 　qE₁cosθ=ma                                      
沿竖直方向有　 　qE₁sinθ=mg                                      
对水平方向的匀加速运动，根据速度位移公式，有　      
v²=2as      
代入数据可解得　　
E₁=0.5N/C                                     
θ=53°                                          
即E₁大小为0.5N/C，方向与水平向右方向夹53°角斜向上．
（2）带电微粒在MN右侧场区始终满足　qE₂=mg                               
在0～1s时间内，带电微粒在E₃电场中  a=

qE3

m

=

1×10-5×0.004

4×10-7

=0.1m/s²   
带电微粒在1s时的速度大小为　 v₁=v+at=1+0.1×1=1.1m/s               
在1～1.5s时间内，带电微粒在磁场B中运动，
周期为　T=

2πm

qB

=

2π×4×10-7

1×10-5×0.08π

=1s                                  
在1～1.5s时间内，带电微粒在磁场B中正好作半个圆周运动；
故带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5s时的速度大小为1.1m/s，方向水平向左．
（3）在0s～1s时间内带电微粒前进距离　s₁=vt+

1

2

at²=1×1+

1

2

×0.1×1²=1.05m     
带电微粒在磁场B中作圆周运动的半径　r=

mv

qB

=

4×10-7×1.1

1×10-5×0.08π

=

1.1

2π

m　     
因为r+s₁＜2.28m，所以在1s～2s时间内带电微粒未碰及墙壁
在2s～3s时间内带电微粒作匀加速运动，加速度仍为　a=0.1m/s²，
在3s内带电微粒共前进距离
s₃=vt3+

1

2

at32=1×2+

1

2

×0.1×22=2.2m                       
在3s时带电微粒的速度大小为　v₃=v+at₃=1+0.1×2=1.2m/s
在3s～4s时间内带电微粒在磁场B中作圆周运动的半径r3=

mv3

qB

=

4×10-7×1.2

1×10-5×0.08π

=

1.2

2π

m=0.19m　                  
因为r₃+s₃＞2.295m，所以在4s时间内带电微粒碰及墙壁
带电微粒在3s以后运动情况如右图，其中 d=2.295-2.2=0.095m             

sinθ=

d

r3

=0.5，θ=30°
所以，带电微粒作圆周运动的时间为t3=

T3

12

=

2πm

12qB

=

2π×4×10-7

12×1×10-5×0.08π

=

1

12

s       
故带电微粒与墙壁碰撞的时间为　t_总=3+

1

12

=

37

12

s．

点评：本题关键分析清楚粒子的运动规律，然后分阶段运用牛顿第二定律、向心力公式和运动学公式列式求解．